Tìm m để bất phương trình có nghiệm là tài liệu vô cùng hữu ích không thể thiếu dành cho các học sinh lớp 10 tham khảo. Tìm m để bất phương trình có nghiệm sẽ được học trong chương trình Toán 10 học kì 2 áp dụng đối với cả 3 bộ sách giáo khoa.
Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm tổng hợp kiến thức lý thuyết, ví dụ minh họa kèm theo 9 bài tập có đáp án giải chi tiết và 21 bài tập tự luyện. Qua bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm giúp các bạn học sinh lớp 10 củng cố kiến thức cơ bản biết vận dụng vào giải các bài toán tìm m để bất phương trình có nghiệm. Ngoài ra các bạn xem thêm tài liệu tìm m để phương trình vô nghiệm, công thức tính độ dài trung tuyến.
1. Phương pháp tìm m để bất phương trình có nghiệm
Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)
- f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (mathbb{R}) . Nghĩa là (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} {Delta leqslant 0} end{array}} right.)
- f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≥ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (mathbb{R}). Nghĩa là (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} {Delta leqslant 0} end{array}} right.)
- f(x) ≥ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (mathbb{R}). Nghĩa là (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} {Delta < 0} end{array}} right.)
- f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ (mathbb{R}). Nghĩa là (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} {Delta < 0} end{array}} right.)
2. Ví dụ tìm m để bất phương trình có nghiệm
Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).
Hướng dẫn giải
Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)
TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ (x > frac{3}{2}) (Loại)
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} {Delta < 0} end{array}} right.)
(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} {4{m^2} + 12m - 12 < 0} end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} {m in left( {dfrac{{ - 3 - sqrt {21} }}{2};dfrac{{ - 3 + sqrt {21} }}{2}} right)} end{array} Leftrightarrow m in emptyset } right.} right.)
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).
Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).
a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0
b. (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 > 0
Hướng dẫn giải
a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)
TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)
TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3
Để bất phương trình f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} {Delta < 0} end{array}} right.)
(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m - 3 < 0} {{m^2} - 6m + 25 < 0} end{array}} right.)
Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,∀m
Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R})
b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)
TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)
TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1
Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x (Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a > 0} {Delta < 0} end{array}} right.)
(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m - 1 > 0} {{m^2} - 6m + 25 < 0} end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m > 1} {m in left( {11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right)} end{array}} right.} right. Leftrightarrow m in left( {11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right))
Vậy (m in left( {11 - 4sqrt 6 ;11 + 4sqrt 6 } right)) thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).
3. Bài tập tìm m để bất phương trình có nghiệm
Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]
Hướng dẫn giải:
Đặt x2 - 2(m + 1) + m2 + 2m ≤ 0
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn ({{x}_{1}}le 1<2le {{x}_{2}} Leftrightarrow left{ begin{matrix} kf(0)le 0 kf(1)le 0 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{m}^{2}}+2mle 0 {{m}^{2}}-1le 0 end{matrix}Leftrightarrow -1le mle 0 right.)
Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x2 - 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Xét 3 trường hợp:
Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:
(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1
Bất phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: Với m < -2
Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm
Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :
(Leftrightarrow Delta >0Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0Leftrightarrow left| m right|>sqrt{2}Leftrightarrow) (left{begin{matrix} m>sqrt{2} -2 < m <-sqrt{2} end{matrix}right.)
Vậy với |m| < (sqrt{2}) thì bất phương trình có nghiệm.
Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3 < mx + 4
Hướng dẫn giải:
Bất phương trình tương đương với: m2x - mx < 4 ⇔ (m2 - m)x < 1; m2 - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .
Nên bất phương trình có vô số nghiệm.
Với m2 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành (x<frac{1}{m^{2}-m}) luôn có nghiệm là (x<frac{1}{m^{2}-m})
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.
Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m2 + 1)x2 + (2m - 1)x - 5 < 0
Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)
Hướng dẫn giải:
Ta có:(left{ begin{matrix}f(-1)le 0 f(1)le 0 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3le 0 {{m}^{2}}+2m-5le 0 end{matrix}Leftrightarrow left{ begin{matrix}-1le mle 3 -sqrt{6}le mle sqrt{6}-1 end{matrix} right. right.)
⇔ -1 ≤ m ≤ (sqrt 6) - 1
Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; (sqrt{6}) - 1)
Bài 5: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x2 - 2mx + 2m - 6 < 0
Hướng dẫn giải:
+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)
+ Với (mne -4 Rightarrow f(x) < 0,forall x Leftrightarrow left{ begin{matrix} a<0 Delta '< 0 end{matrix}right.)(Leftrightarrow left{ begin{matrix} m<-4 {{m}^{2}}-(m+4)(2m-6)<0 end{matrix}right.)
(Rightarrowleft{ begin{matrix} m<-4 min (-infty ,-4)cup (6,+infty ) end{matrix}left{ begin{matrix} m<-4 min (-infty ,-4)cup (6,+infty ) end{matrix}right. right.)(Leftrightarrow m<-4)
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.
Bài 6: Cho bất phương trình: x2 + 4x + 3 + m ≤ 0
a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.
b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.
c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.
Hướng dẫn giải
a. Bất phương trình vô nghiệm
⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1
Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.
b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.
⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1
Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm
c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện:
(begin{align} & left| x-x' right|=2 & Leftrightarrow left{ begin{matrix} Delta '>0 left| dfrac{sqrt{Delta }}{a} right|=2 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} 1-m>0 sqrt{1-m}=2 end{matrix}Leftrightarrow m=-3 right. end{align})
Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.
Bài 7: Tìm m để bất phương trình: x4 + 2mx2 + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.
Hướng dẫn giải
Đặt t = x2, t ≥ 0
Khi đó bất phương trình trở thành:
f(t) = t2 +2mt + m ≥ 0 (*)
⇒Δ' = m2 - m
Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m2 - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1
Khi đó (*) luôn đúng.
Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t1 < t2 ≤ 0
Tóm lại ta cần suy ra như sau:
(left{ begin{matrix} Delta '>0 a.f(0)ge 0 dfrac{S}{2}<0 end{matrix} right.Leftrightarrow left{ begin{matrix} {{m}^{2}}-m>0 mge 0 -m<0 end{matrix} right.Leftrightarrow m>1)
Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.
Bài 8: Tìm m để bất phương trình ((m + 4){x^2} - 2mx + 2m - 6 < 0) có nghiệm đúng với mọi x
Hướng dẫn giải
Với m = -4 thì bất phương trình trở thành: (8x - 14 < 0,forall x) (loại)
Với (m ne - 4) thì (f(x) < 0,forall x)
(Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {a < 0} {Delta ' < 0} end{array} Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} {{m^2} - (m + 4)(2m - 6) < 0} end{array} Leftrightarrow } right.left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m < - 4} {m in ( - infty , - 4) cup (6, + infty )} end{array} Leftrightarrow m < - 4} right.} right.)
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4
Bài 9: Tìm m để bất phương trình ((m + 2){x^2} - 2mx + {m^2} + 2m leqslant 0) có nghiệm.
Hướng dẫn giải
Xét 3 trường hợp:
TH1: Với (m + 2 = 0 Leftrightarrow m = - 2) ta được:
(1) (Leftrightarrow 4x + 4 < 0 Leftrightarrow x < - 1)
Bất phương trình vô nghiệm
TH2: Với (m < - 2)
Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm
TH3: (m + 2 > 0 Leftrightarrow m > - 2). Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt:
(Leftrightarrow Delta > Leftrightarrow {m^2} - 2 > Leftrightarrow left| m right| > sqrt 2 Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{c}} {m > sqrt 2 } { - 2 < m < - sqrt 2 } end{array}} right.)
Vậy với (left| m right| < sqrt 2) thì bất phương trình có nghiệm.
Bài 9 Tìm m để bất phương trình ({m^2}x + 3 < mx + 4) có nghiệm
Gợi ý đáp án
Bất phương trình tương đương với:
({m^2}x - mx < 4 - 3 Leftrightarrow left( {{m^2} - m} right)x < 1)
Với ({m^2} - m = 0 Leftrightarrow m = { 0;1}) thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x
Nên bất phương trình có vô số nghiệm.
Với ({m^2} - m = 0 ne 0 Leftrightarrow m ne { 0;1}) thì bất phương trình trở thành (x < frac{1}{{{m^2} - m}}) luôn có nghiệm là (x < frac{1}{{{m^2} - m}})
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m
4. Bài tập vận dụng tìm m để bất phương trình có nghiệm
Bài 1: Cho tam thức f(x) = x2 - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .
Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx2 - 4x + 3m + 1 >0
Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x2 - 2x + 1 - m2 ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].
Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x2 + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).
Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x2 + 2(m + 1)x + m - 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).
Bài 6: Tìm m để bất phương trình m2 - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).
Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x2 + (m - 1)x - m ≤ 0
đều là nghiệm của bất phương trình.
Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x2 + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm
Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình f(x) = - (m2 + 2)x2 - 2mx + 1 - m > 0
Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)
Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx2 - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0).
Bài 11: Tìm giá trị tham số để bất phương trình sau nghiệm luôn đúng với mọi x:
a. 5x2 - x + m > 0
b. mx2 - 10x - 5 < 0
c. m(m+2)x2 - 2mx + 2 > 0
d. (m + 1)x2 - 2(m - 1)x + 3m - 3 < 0
Bài 12: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}): (m - 5)x² - 2x + m + 1 > 0
Bài 13: Tìm m để các bất phương trình sau có nghiệm đúng với mọi x
a. ({x^2} + 2left( {m - 1} right)x + m + 4 > 0) b. ({x^2} + left( {m + 1} right)x + 2m + 7 > 0) c. (m{x^2} + left( {m - 1} right)x + m - 1 < 0) d. (left( {m + 2} right){x^2} - 2left( {m - 1} right)x + 4 > 0)Bài 14: Cho bất phương trình: (frac{{2m{x^2} + 2left( {m - 1} right)x + 7m + 9}}{{{x^2} + 1}} geqslant 1)
Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc (mathbb{R}).
Bài 15: Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.
a. ({x^2} - 2left( {m - 2} right)x + 2left( {{m^2} - 2x + 2} right) > 0)
b. (m{x^2} + left( {m - 1} right)x + m - 1 leqslant 0)
c. (left( {m - 1} right){x^2} - 2left( {m + 1} right) + 3left( {m - 2} right) geqslant 0)
Bài 16: Xác định m để đa thức sau: (3m + 1)x² - (3m + 1)x + m + 4 luôn dương với mọi x.
Bài 17: Tìm m để phương trình: (m2 + m + 1)x2 + (2m - 3)x + m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt
Bài 18 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm
(a) (m-5) x^{2}-4 m x+m-2=0)
(b) (m-2) x^{2}+2(2 m-3) x+5 m-6=0)
(c) (3-m) x^{2}-2(m+3) x+m+2=0)
(d) (1+m) x^{2}-2 m x+2 m=0)
(e) (m-2) x^{2}-4 m x+2 m-6=0)
(f) left(-m^{2}+2 m-3right) x^{2}+2(2-3 m) x-3=0)
Bài 18. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x :
(a) 3 x^{2}+2(m-1) x+m+4>0)
(b) x^{2}+(m+1) x+2 m+7>0)
(c) 2 x^{2}+(m-2) x-m+4>0)
(d) m x^{2}+(m-1) x+m-1<0)
(e) (m-1) x^{2}-2(m+1) x+3(m-2)>0)
(f) left|3(m+6) x^{2}-3(m+3) x+2 m-3right|>3)
Bài 19 Nghiệm x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?
Hoặc