A. Lý thuyết
1. Phương trình đường tròn
Đường tròn tâm I, bán kính R là tập hợp những điểm M thỏa mãn điều kiện IM = R. Do đó, để lập phương trình đường tròn, ta cần chuyển điều kiện hình học IM = R thành một điều kiện đại số.
Điểm M(x;y) thuộc đường tròn (C), tâm I(a; b), bán kính R khi và chỉ khi
({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}).
Phương trình trên là phương trình đường tròn (C).Nhận xét: Phương trình ({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0) là phương trình của một đường tròn (C) khi và chỉ khi ({a^2} + {b^2} - c > 0). Khi đó, (C) có tâm I(a; b) và bán kính (R = sqrt {{a^2} + {b^2} - c} ).
2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho điểm (M({x_0};{y_0})) thuộc đường tròn (C): ({(x - a)^2} + {(y - b)^2} = {R^2}) (tâm I(a; b), bán kính R). Khi đó, tiếp tuyến (Delta ) của (C) tại (M({x_0};{y_0})) có vecto pháp tuyến (overrightarrow {MI} = (a - {x_0};b - {y_0})) và phương trình
((a - {x_0})(x - {x_0}) + (b - {y_0})(y - {y_0}) = 0).
B. Bài tập
Bài 1:
a) Tìm tâm và bán kính đường tròn (C) có phương trình: ({(x - 2)^2} + {(y + 3)^2} = 16).
b) Viết phương trình đường tròn (C’) tâm J(2; -1) và có bán kính gấp đôi bán kính đường tròn (C).
Giải:
a) Ta viết phương trình của (C) ở dạng ({(x - 2)^2} + {(y - ( - 3))^2} = {4^2}).
Vậy (C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 4.
b) Đường tròn (C’) có tâm J(2; -1) và bán kính R’ = 2R = 8 nên có phương trình:
({(x - 2)^2} + {(y + 1)^2} = 64).
Bài 2: Phương trình ({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0) có phải là phương trình đường tròn không? Nếu có, xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn đó.
Giải:
Từ phương trình, ta có (a = frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2); (b = frac{2}{{ - 2}} = - 1); c = -4.
Suy ra ({a^2} + {b^2} - c = {2^2} + {( - 1)^2} - ( - 4) = 9 > 0).
Vậy phương trình ({x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 4 = 0) là phương trình đường tròn tâm I(2; -1) và bán kính (R = sqrt 9 = 3).
Bài 3: Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(-1; 1), B(0; -2), C(0; 2).
Giải:
Giả sử tâm của đường tròn là điểm I(a; b). Ta có (IA = IB = IC Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2} = I{C^2}).
Khi đó:
(left{ begin{array}{l}{( - 1 - a)^2} + {(1 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2}{(0 - a)^2} + {( - 2 - b)^2} = {(0 - a)^2} + {(2 - b)^2}end{array} right.)
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}{a^2} + {b^2} + 2a - 2b + 2 = {a^2} + {b^2} + 4b + 4{a^2} + {b^2} + 4b + 4 = {a^2} + {b^2} - 4b + 4end{array} right.)
( Leftrightarrow left{ begin{array}{l}2a - 2b = 4b + 2b = 0end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}a = 1b = 0end{array} right.).
Đường tròn tâm I(1; 0) bán kính (R = IC = sqrt {{a^2} + {b^2} - 4b + 4} = sqrt 5 ).
Phương trình đường tròn là ({(x - 1)^2} + {(y - 0)^2} = {(sqrt 5 )^2}).
Vậy phương trình đường tròn là ({(x - 1)^2} + {y^2} = 5).
Bài 4: Cho đường tròn (C) có phương trình ({(x + 1)^2} + {(y - 3)^2} = 5). Điểm M(0; 1) có thuộc đường tròn (C) hay không? Nếu có, hãy viết phương trình tiếp tuyến tại M của (C).
Giải:
Do ({(0 + 1)^2} + {(1 - 3)^2} = 5), nên điểm M thuộc (C).
Đường tròn (C) có tâm là I(-1; 3). Tiếp tuyến của (C) tại M(0; 1) có vecto pháp tuyến ( - 1(x - 0) + 2(y - 1) = 0 Leftrightarrow x - 2y + 2 = 0).
Hoặc