1. Trang chủ
  2. Chính tả

Lý thuyết hệ thức lượng trong tam giác vuông: Công thức, bài tập lớp 9

avatar
TranHung
19:09 29/04/2026
Tham khảo các mẫu laptop cấu hình mạnh mẽ, hỗ trợ tốt cho việc học tập và tính toán:

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là một phần kiến thức nền tảng và quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9. Cùng tổng hợp lại ngay các hệ thức lượng trong tam giác vuông kèm bài tập ngay bên dưới!

1. Quy ước các ký hiệu trong tam giác vuông

Để thuận tiện cho việc áp dụng các công thức, chúng ta hãy cùng thống nhất các ký hiệu cho một tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH ứng với cạnh huyền.

  • Cạnh huyền: a (đoạn BC).
  • Cạnh góc vuông: b và c (đoạn AC và AB).
  • Đường cao: h (đoạn AH).
  • Hình chiếu: b' và c' (đoạn HC và HB tương ứng là hình chiếu của b và c trên cạnh huyền).

Quy ước các ký hiệu trong tam giác vuông

2. Tổng hợp các hệ thức lượng về cạnh và đường cao

Dưới đây là 5 hệ thức quan trọng nhất giúp bạn tính toán độ dài các cạnh và đường cao trong tam giác vuông:

Định lý Pytago

Định lý kinh điển liên hệ độ dài ba cạnh của tam giác vuông:

a2 = b2 + c2

Hệ thức giữa cạnh góc vuông và hình chiếu

Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu tương ứng của nó:

b2 = a . b'

c2 = a . c'

Hệ thức liên quan đến đường cao và hình chiếu

Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông:

h2 = b' . c'

Hệ thức giữa đường cao và các cạnh của tam giác

Tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và đường cao tương ứng:

b . c = a . h

Hệ thức về nghịch đảo bình phương đường cao

Nghịch đảo của bình phương đường cao bằng tổng các nghịch đảo của bình phương hai cạnh góc vuông:

Tổng hợp các hệ thức lượng về cạnh và đường cao

3. Tỉ số lượng giác và hệ thức giữa cạnh và góc

Bên cạnh các hệ thức về độ dài, bạn cần nắm vững tỉ số lượng giác để giải tam giác vuông một cách toàn diện.

Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc:

  • Cạnh góc vuông = Cạnh huyền × sin(góc đối) = Cạnh huyền × cos(góc kề).
  • Cạnh góc vuông = Cạnh góc vuông kia × tan(góc đối) = Cạnh góc vuông kia × cot(góc kề).

4. Bài tập vận dụng có lời giải chi tiết

Đề bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, có cạnh AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài cạnh huyền BC và đường cao AH.

Lời giải:

Tính cạnh huyền BC: Áp dụng định lý Pytago: BC2 = AB2 + AC2 = 62 + 82 = 100. Suy ra BC = 10 cm.

Tính đường cao AH: Áp dụng hệ thức b.c = a.h: 6 × 8 = 10 × AH. Suy ra AH = 4.8 cm.

Đề bài 2: Trong tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 13cm, đường cao AH = 5cm. Tính độ dài hai cạnh góc AB, AC.

Lời giải:

  • Áp dụng hệ thức b.c = a.h: AB × AC = 13 × 5 = 65.
  • Áp dụng Pytago: AB² + AC² = 13² = 169.
  • Giải hệ: AB = 5cm, AC = 13cm (hoặc ngược lại).

Đề bài 3: Tam giác ABC vuông tại B, AB = 9cm, BC = 12cm. Tính diện tích tam giác và đường cao từ B xuống cạnh huyền AC.

Lời giải:

  • Cạnh huyền AC = √(9² + 12²) = 15cm.
  • Diện tích S = (9 × 12)/2 = 54 cm².
  • Hệ thức: 9 × 12 = 15 × h ⇒ h = 108/15 = 7.2 cm.

Đề bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại C, biết diện tích tam giác là 24 cm² và đường cao từ C xuống cạnh huyền là 8cm. Tính độ dài cạnh huyền AB.

Lời giải:

  • Hệ thức b.c = a.h: AB × 8 = 2 × 24 = 48. Suy ra AB = 6cm.
  • Kiểm tra: Hai cạnh góc AB × BC = 48, S = (AB × BC)/2 = 24 (thỏa mãn).

Đề bài 5: Tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 25cm và đường cao AH từ A xuống BC là 15cm. Tính độ dài hai cạnh góc AB và AC.

Lời giải:

  • Áp dụng hệ thức b.c = a.h: AB × AC = 25 × 15 = 375.
  • Áp dụng Pytago: AB² + AC² = 25² = 625.
  • Giải hệ phương trình: AB = 15cm, AC = 25cm (hoặc ngược lại).
  • Kiểm tra: 15 × 25 = 375 và 15² + 20² = 225 + 400 = 625 (thỏa mãn).

5. Câu hỏi liên quan thường gặp

Hệ thức lượng có áp dụng cho tam giác thường không?

Không, các hệ thức về cạnh và đường cao này chỉ áp dụng cho tam giác vuông. Với tam giác thường, bạn cần sử dụng Định lý hàm số Sin hoặc Định lý hàm số Cos năm 2026.

Làm thế nào để tính góc khi chỉ biết độ dài hai cạnh?

Bạn sử dụng các tỉ số lượng giác (Sin, Cos hoặc Tan) để tính giá trị, sau đó dùng máy tính cầm tay nhấn phím SHIFT + phím lượng giác tương ứng để tìm số đo góc.

Đường trung tuyến ứng với cạnh huyền có tính chất gì?

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền luôn có độ dài bằng một nửa cạnh huyền đó.

Xem thêm các mẫu máy tính bảng hỗ trợ học tập hiệu quả đang kinh doanh tại TGDĐ:

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là bộ công cụ mạnh mẽ giúp bạn giải quyết mọi bài toán hình học phẳng. Hãy luyện tập thường xuyên và đừng quên sử dụng các thiết bị hỗ trợ học tập tại Thế Giới Di Động để đạt kết quả tốt nhất nhé!