Bài viết sau đây sẽ giúp các em tìm hiểu về khái niệm đường cao của tam giác và các tính chất cụ thể của ba đường cao trong tam giác. Để có thể hiểu sâu hơn về khái niệm cũng như các tính chất về đường cao của tam giác, đồng thời tìm ra các phương pháp giải hay và phù hợp áp dụng cho các dạng bài tập liên quan đến vấn đề này. Các em cùng tìm hiểu bài viết này nhé.
1. Đường cao của tam giác là gì?
Trong một tam giác nào đó, đoạn thẳng vuông góc kẻ từ một đỉnh bất kì đến đường thẳng chứa cạnh đối diện của nó được gọi là đường cao của tam giác đó. Cụ thể, ở trong hình vẽ sau đây, đoạn thẳng BH là một đường cao của tam giác BCD, hay ta có thể nói BH là đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác BCD.
2. Tính chất ba đường cao của tam giác
Cho tam giác BCD có ba đường cao BH, CK và DT. Khi đó, ba đường cao BH, CK và DT của tam giác BCD cùng đi qua điểm O và điểm O được gọi là trực tâm của tam giác BCD.
3. Các dạng toán cơ bản về đường cao của tam giác
3.1. Dạng 1: Đường cao trong tam giác cân
*Phương pháp giải:
Dựa vào các kiến thức đã học, cùng với các giả thiết đề bài đưa ra để giải quyết các yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 1. Cho tam giác BCD cân tại B có đường cao BH. Chứng minh rằng hai tam giác vuông BCH và BDH bằng nhau.
Lời giải
Vì BH là đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác cân BCD, nên tam giác BCH và tam giác BDH là hai tam giác vuông tại H.
Ta xét tam giác vuông BCH và tam giác vuông BDH có
+ Cạnh BH chung
+ BC = BD (do tam giác BCD cân tại B).
Ta suy ra, hai tam giác vuông BCH và BDH bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
3.2. Dạng 2: Đường cao trong tam giác đều
*Phương pháp giải:
Dựa vào các kiến thức đã học, cùng với các giả thiết đề bài đưa ra để giải quyết các yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 2. Cho tam giác đều BCD có ba đường cao BH, CK và DT. Gọi O là trực tâm của tam giác đều BCD. Chứng minh rằng điểm O cũng chính là trọng tâm của tam giác đều BCD.
Lời giải
Ta xét tam giác vuông BCH và tam giác vuông BDH có
+ Cạnh BH chung
+ BC = BD (do tam giác BCD là tam giác đều).
Do đó, hai tam giác vuông BCH và BDH bằng nhau (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra CH = DH hay H là trung điểm của cạnh CD.
Khi đó, BH là đường trung tuyến của tam giác đều BCD.
Tương tự, ta cũng chứng minh được: CK và DT là hai đường trung tuyến của tam giác đều BCD.
Vì O là trực tâm của tam giác đều BCD, nên ba đường trung tuyến BH, CK và DT đồng quy tại điểm O.
Suy ra, O là trọng tâm của tam giác BCD.
4. Các bài tập liên quan đến đường cao của tam giác
Bài 1. Cho tam giác BCD cân tại B có đường cao BH. Chứng minh rằng đường cao BH của tam giác cân BCD cũng là đường trung tuyến, là đường trung trực của tam giác cân BCD.
ĐÁP ÁNTheo chứng minh ở Ví dụ 1, ta có: Hai tam giác vuông BCH và BDH bằng nhau.
Suy ra CH = DH (hai cạnh tương ứng).
Do đó, H là trung điểm của cạnh CD.
Suy ra, đường cao BH là đường trung tuyến của tam giác cân BCD.
Vì BH vuông góc với cạnh CD tại H và H là trung điểm của CD, nên đường cao BH cũng là đường trung trực của tam giác cân BCD.
Vậy, đường cao BH của tam giác cân BCD cũng là đường trung tuyến, là đường trung trực của tam giác cân BCD.
Bài 2. Cho tam giác BCD cân tại B có đường cao BH. Chứng minh rằng đường cao BH của tam giác cân BCD là đường phân giác của tam giác cân BCD.
ĐÁP ÁNTheo chứng minh ở Ví dụ 1, ta có: Hai tam giác vuông BCH và BDH bằng nhau.
Suy ra (hai góc tương ứng).
Do đó, đường cao BH là đường phân giác của tam giác cân BCD.
Vậy, đường cao BH của tam giác cân BCD là đường phân giác của tam giác cân BCD.
Bài 3. Cho tam giác đều BCD, ba đường cao BH, CK và DT đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng ba đường cao của tam giác đều BCD có độ dài bằng nhau.
ĐÁP ÁNDo tam giác BCD là tam giác đều, nên ba đường cao BH, CK và DT cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đều BCD (theo Bài 1).
Khi đó H, K, T lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng CD, BD, BC, mà CD = BD = BC (do tam giác BCD là tam giác đều).
Suy ra CH = DH = BK = DK = BT = CT.
Xét tam giác vuông BHD và tam giác vuông CKD có:
+ BD = CD (do tam giác BCD đều)
+ DH = DK (theo chứng minh trên).
Do đó, tam giác vuông BHD bằng tam giác vuông CKD (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra BH = CK (hai cạnh tương ứng). (1)
Xét tam giác vuông BHD và tam giác vuông DTB có:
+ BD chung
+ DH = BT (theo chứng minh trên).
Do đó, tam giác vuông BHD bằng tam giác vuông DTB (cạnh huyền - cạnh góc vuông).
Suy ra BH = DT (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2), ta được: BH = CK = DT.
Vậy ba đường cao của tam giác đều BCD có độ dài bằng nhau.
Bài 4. Cho tam giác đều BCD, ba đường cao BH, CK và DT đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác đều BCD.
ĐÁP ÁNVì ba đường cao BH, CK và DT đồng quy tại điểm O, nên O là trực tâm của tam giác BCD.
Ta có tam giác BCD đều, nên ba đường cao BH, CK và DT cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đều BCD và trực tâm O chính là trọng tâm của tam giác đều BCD.
Suy ra BO = BH; CO = CK; DO = DT.
Theo Bài 3, ta có: BH = CK = DT, suy ra CO = BO = DO.
Vậy O cách đều ba đỉnh của tam giác đều BCD.
Bài 5. Cho tam giác đều BCD, ba đường cao BH, CK và DT đồng quy tại điểm O. Chứng minh rằng điểm O cách đều ba cạnh của tam giác đều BCD.
ĐÁP ÁNVì ba đường cao BH, CK và DT đồng quy tại điểm O, nên O là trực tâm của tam giác BCD.
Ta có tam giác BCD đều, nên ba đường cao BH, CK và DT cũng chính là đường trung tuyến của tam giác đều BCD và trực tâm O chính là trọng tâm của tam giác đều BCD.
Suy ra BO = BH; CO = CK; DO = DT.
Ta có OH = BH - BO = BH - BH = BH; tương tự OK = CK, OT = DT.
Theo Bài 3, ta có: BH = CK = DT, suy ra OH = OK = OT. (1)
Vì OH, OK, OT lần lượt vuông góc với CD, BD, BC tại H, K , T tương ứng, nên OH, OK, OT là khoảng cách từ điểm O đến ba cạnh của tam giác đều BCD. (2)
Từ (1) và (2), ta được: O cách đều ba cạnh của tam giác đều BCD.
Bài viết trên đã giới thiệu cho các em về khái niệm cũng như một số tính chất đường cao của tam giác. Hy vọng qua đó các em nắm vững được lý thuyết và vận dụng chúng để xử lý các dạng bài tập liên quan.
Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang
Hoặc