Tổng hợp các kiến thức Đạo hàm đầy đủ từ A – Z

Trong chương trình toán của học sinh cấp 3, đạo hàm là 1 trong những phần kiến thức quan trọng có liên quan để cả quá trình học và các kỳ thi lớn. Tổng hợp các kiến thức đạo hàm đầy đủ, cùng bài tập ứng dụng trong nội dung bài viết dưới đây sẽ giúp các em học sinh vượt qua nội dung này dễ dàng. Hãy cùng The Dewey Schools theo dõi thông tin trong các phần tiếp theo nhé.

Định nghĩa Đạo hàm là gì?

Một trong những kiến thức đầu tiên chúng ta cần quan tâm là định nghĩ và ý nghĩa của đạo hàm. Cụ thể:

1. Định nghĩa đạo hàm

Đạo hàm là gì? Đạo hàm là một hàm mô tả sự biến thiên tại một điểm, hay tỷ số giữa số gia và hàm số tại 1 điểm x0 trong toán học. Độ lớn của biến thể và hướng của biến thể đại diện cho giá trị của đạo hàm.

Theo 1 định nghĩa khác đạo hàm được hiểu là sự biến thiên lên xuống của hàm số tại điểm thay đổi. Ngoài ra, đạo hàm còn được coi là vận tốc tức thời khi một vật đang chuyển động trong vật lý.

Xem thêm: Cập nhật kiến thức tổng hợp về số hữu tỉ mới nhất 2023

Ký hiệu đạo hàm: Đạo hàm của hàm y=f(x) được ký hiệu là f′(x0) hoặc y′(x0). Cụ thể:

Trong đó:

• Số gia của đối số là Δx=x−x0
• Số gia của hàm là Δy=y−y0

2. Ý nghĩa của đạo hàm

Đạo hàm có ý nghĩa quan trọng trong Toán học và Vật lý, cụ thể:

Trong Toán học

Ý nghĩa của đạo hàm trong hình học của Toán học lớp 11: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại , gọi (C) là đồ thị của hàm số đó.

Trong Vật lý học

Ý nghĩa của đạo hàm là vận tốc tức thời khi 1 vật đang chuyển động. Nếu chuyển động tuyến tính được xác định bởi phương trình: s = f(t), trong đó f(t) là hàm có đạo hàm thì vận tốc tức thời xác định tại thời điểm t0 là đạo hàm s = f(t) tại t0

Xem thêm: [2023 Update] Tổng hợp công thức lượng giác lớp 10, 1

Quy tắc cần nhớ khi áp dụng công thức đạo hàm 11

Khi áp dụng công thức đạo hàm để tính toán và giải các bài tập toán học chúng ta cần lưu ý quy tắc cơ bản sau:

Cập nhật công thức đạo hàm đầy đủ nhất

Công thức đạo hàm đầy đủ nhất được cập nhật bao gồm: đạo hàm cơ bản, đạo hàm lượng giác, đạo hàm logarit và đạo hàm cấp cao. Cụ thể:

1. Công thức đạo hàm cơ bản

Các công thức đạo hàm cơ bản bao gồm:

• Đạo hàm của f(x) (x là biến)
• Đạo hàm của f(u) (u là một hàm số)
• Đạo hàm của phân số hữu tỉ

Xem thêm: Tổng hợp kiến thức công thức hạ bậc lượng giác không thể bỏ qua

Xem thêm: Tuyển tập kiến thức công thức lượng giác lớp 10 đầy đủ nhất

2. Công thức đạo hàm lượng giác

Công thức đạo hàm lượng giác và hàm lượng giác ngược”

3. Công thức đạo hàm logarit

Công thức đạo hàm logarit:

4. Công thức đạo hàm cấp cao

Công thức đạo hàm cấp cao:

5. Bảng đạo hàm và nguyên hàm

Bảng đạo hàm và nguyên hàm:

Bảng công thức đạo hàm đầy đủ nhất

Bảng công thức đạo hàm đầy đủ nhất cập nhật 2023:

Mối quan hệ giữa đạo hàm và nguyên hàm trong Toán học

Nguyên hàm trong Toán học của 1 hàm thực f đã cho là hàm F, hàm F có đạo hàm là f. Trong quá trình tìm kiếm và xác định biểu thức nguyên hàm khó hơn tìm đạo hàm.

Nguyên hàm được coi là 1 phần của đạo hàm, được định nghĩa từ đạo hàm. Đạo hàm và nguyên hàm trong Toán học có mối quan hệ mật thiết với nhau. Nói cách khác, ngược lại với việc tìm đạo hàm là tìm bản gốc.

Một số dạng bài tập đạo hàm không thể bỏ quả

Để giúp quá trình học kiến thức về đạo hàm của học sinh trở nên dễ dàng, ghi nhớ lâu hơn The Dewey Schools đã tông hợp các dạng toán và bải tập đạo hàm chi tiết. Mời các em học sinh tham khảo nội dung này trong phần tiếp theo của bài viết.

Dạng 1: Dạng toán cơ bản áp dụng khái niệm, định nghĩa đạo hàm

Trong các bài tập đạo hàm thì dạng toán cơ bản áp dụng khái niệm và định nghĩa là đơn giản nhất. Phương pháp giải các bài tập này vận dụng định nghĩa, các công thức cơ bản để tính toán. Ví dụ:

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Dang bài tập này cần áp dụng các công thức đạo hàm phổ biến. Trong đề bài sẽ cho phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y= f(x). Phương trình này có tiếp điểm M(x0 ; y0) , có dạng: y = y ‘(x0)(x-x0) + y0. Vì vậy, học sinh cần căn cứ và dữ kiện của đề bài thay thế các dữ liệu đã cho để tìm đáp án chính xác.

Ví dụ: Cho hàm số y= x3 + 3mx2 + ( m+1)x + 1 (1), m là tham số thực. Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1, 2) và có hoành độ x = -1.

Đáp án:

y’ = f'(x)= 3×2 + 6mx + m + 1

Với x0 = -1 => y0= 2m -1, f'( -1) = -5m + 4

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M (-1; 2m - 1) là: y= ( -5m + 4 ) ( x+1) + 2m -1 (d)

Ta có A ( 1,2) ∈ (d)

=> ( -5m + 4).2 + 2m - 1 = 2

=> -10m + 8 + 2m - 1 = 2

=> -8m = -5

=> m = ⅝

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Dạng bài tập này, dữ kiện đề bài cho biết Δ có hệ số góc là k, yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến Δ của (C) : y = f( x )

Phương pháp giải: Gọi M(x0 ; y0) là tiếp điểm. Tính y’ => y'(x0)

Phương trình tiếp tuyến Δ có hệ số góc k => y’ = (x0 ) = k (i)

x0 => y0 = f(x0) => Δ : y = k (x - x0 )+ y0

Lưu ý: Thông thường đề bài sẽ cho gián tiếp hệ số góc k = y'(x0 ) của tiếp tuyến Δ kiểu như sau:

Ví dụ: Tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C ) có hàm số là y=x3 +3 × 2 - 9x + 5 ( C). .

Đáp án:

Ta có y’ = f'( x ) = 3×2 + 6x - 9

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến, vậy f'( x0) = 3 x02 + 6 x0 - 9

Ta có:

3 x02 + 6×0 - 9 = 3 ( x02+ 2×0 +1) - 12 = 3 (x0+1)2- 12 > - 12

Vậy min f( x0)= - 12 tại x0= -1 => y0=16

=> Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y= -12( x+1)+16

=> y= -12x + 4

Dạng 4: Dạng bài tập chứng minh đẳng thức liên quan đến đạo hàm theo điều kiện cho trước

Đề bài đưa ra một số điều kiện có sẵn và yêu cầu phải chứng minh mối liên hệ nào đó dựa trên điều kiện này. Học sinh cần tính toán, chứng minh các đẳng thức liên quan đến đạo hàm và đưa ra kết quả.

Dạng 5: Giải phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Để giải dạng bài tập tìm phương trình và bất phương trình có đạo hàm học sinh cần kết hợp nhiều công thức đạo hàm, nguyên hàm để tìm ra kết quả cuối cùng chính xác.

Dạng 6: Tính đạo hàm cấp cao áp dụng công thức y(n) = (y(n-))’

Dạng bài tập 6 thường áp dụng với công thức tính đạo hàm từ cấp 2 trở lên. Muốn tính chính xác đạo hàm y’ cấp cao, học sinh cần nắm vững công thức y(n) = (y(n-1))’. Chúng ta cần thực hiện tính y’ từ cấp 1, 2, 3, 4… lần lượt để tìm ra công thức và tính chính xác y’ cấp n.

Dạng 7: Giải bài tập áp dụng công thức nguyên hàm và đạo hàm

Với dạng bài tập số 7, để giải chính xác học sinh cần nắm vững công thức đạo hàm và nguyên hàm đã được học. Khi thực hiện, các em cần phải rút gọn hàm số sau đó mới áp dụng công thức tiến hành tìm y’ của hàm số.

Lưu ý phương pháp ghi nhớ và cách giải đạo hàm nhanh, hiệu quả

Đạo hàm là nội dung kiến thức không đơn giản, do đó nhiều học sinh gặp khó khăn trong việc ghi nhớ bảng đạo hàm và tì cách giải. Một số lưu ý dưới đây sẽ giúp các em học sinh giải quyết nhanh vấn đề khó khăn này, chúng ta cùng tìm hiểu nhé.

Cách hay ghi nhớ bảng đạo hàm hiệu quả

Để ghi nhớ kiến thức đạo hàm, học sinh cần chú ý:

• Nghiêm túc, tập trung trong học tập: Công thức đạo hàm là 1 trong những công thức khó nhớ mang tính đặc thù của chuyên ngành Toán do đó yêu cầu chúng ta cần có thái độ học tập nghiêm túc, tập trung. Các em học sinh cần có sự kiên trì tìm hiểu để nắm vững kiến thức mới có thể tiến bộ nhanh và áp dụng vào giải bài tập một cách chính xác.
• Học đi đôi với hành: Ngoài việc nghiên cứu lý thuyết, chúng ta cần kết hợp với việc tích cực luyện tập các dạng bài tập có liên quan để hiểu sâu và ghi nhớ tốt kiến thức. Đầu tiên cần thành thạo trong giải các dạng toán của cơ bản trong sách giáo khoa, tiếp đến là các sách tham khảo, mở rộng ra các kiến thức nâng cao và luyện các dạng đề thi.
• Tích cực giải đáp vấn đề khó khăn bằng cách trao đổi cùng thầy cô, bạn bè: Việc e ngại trong trao đổi học tập với thầy cô, bạn bè sẽ trở thành rào cản cho sự tiến bộ trong học tập của học sinh. Do đó với mọi vẫn đề thắc mắc hay cảm thấy khó khăn chúng ta nên tìm cách giải quyết triệt để thông qua việc tích cực trao đổi với thầy cô và các bạn khác. Ngoài ra, học sinh cần chủ động tìm kiếm thông tin, giao lưu và học hỏi trên các hội nhóm, diễn đàn uy tín và trong các tài liệu sách, báo khác.

Cách hay để giải bài tập đạo hàm nhanh chóng

Với các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, nếu muốn giải đáp một cách nhanh chóng, mang lại kết quả chính xác các em học sinh cần lưu ý:

• Trước tiên cần nắm vững kiến thức lý thuyết cơ bản về đạo hàm như định nghĩa, công thức đạo hàm, các quy tắc… để vận dụng vào giải toán.
• Thực hành đa dạng các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao để nắm vững và ghi nhớ kiến thức một cách tốt nhất.
• Tìm kiếm các thông tin, kiến thức ngoài lớp học để từ đó tìm ra các phương pháp giải bài tập mới mang tính sáng tạo.

Đạo hàm là kiến thức Toán học xuất hiện trong các kỳ thi quan trọng của học sinh trung học phổ thông. Tuy nhiên đây là nội dung được đánh giá là khó nhớ, khó vận dụng trong giải toán nên yêu cầu học sinh phải học tập thật sự nghiêm túc. Ngoài ra, các em cần tìm hiểu sâu, rèn luyện đa dạng và thường xuyên các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao để làm chủ kiến thức, kỹ năng của mình. The Dewey Schools hy vọng nội dung bài viết về đạo hàm trên đây sẽ cung cấp cho các em những kiến thức cần thiết, hữu ích cho quá trình học tập. Nếu còn bất cứ thắc mắc hay kho khăn nào hãy liên hệ với chúng tôi để được hỗ trợ nhanh chóng và sớm nhất.