Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 Biết rằng (widehat {ASB} = widehat {ASD} = {90^0}), mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (ABCD) cắt SD tại N. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện D

Lời giải chi tiết:

Gọi (O = AC cap BD) và (left( P right)) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (left( {ABCD} right)).

Ta có (left{ begin{array}{l}SA bot SBSA bot SDend{array} right. Rightarrow SA bot left( {SBD} right) Rightarrow SA bot BD)

Và (left{ begin{array}{l}BD bot ACBD bot SAend{array} right. Rightarrow BD bot left( {SAC} right)).

Trong (SAC) kẻ đường thẳng (OI bot AC,,left( {I in SC} right)).

Ta có (OI subset left( {SAC} right) Rightarrow OI bot BD), (OI bot AC Rightarrow OI bot left( {ABCD} right) Rightarrow left( P right)//left( {OI} right)).

Trong (left( {SAC} right)) kẻ (AM//OI,,left( {M in SC} right)).

(left( P right)) và (left( {SCD} right)) có điểm M chung, (AB//CD Rightarrow left( P right) cap left( {SCD} right))= đường thẳng qua M và song song với AB, CD.

Trong (left( {SCD} right)) kẻ (MN//CD,,left( {N in SD} right)). Khi đó (left( P right) equiv left( {ABMN} right)).

Ta có ({V_{D.ABN}} = dfrac{1}{3}{S_{Delta ABD}}.dleft( {N;left( {ABD} right)} right) = dfrac{1}{3}{S_{Delta ABD}}.dleft( {M;left( {ABD} right)} right) = dfrac{2}{3}{S_{Delta ABD}}.dleft( {I;left( {ABD} right)} right) = dfrac{2}{3}IO.{S_{Delta ABD}})

( Rightarrow {V_{D.ABN}} = dfrac{2}{3}IO.dfrac{1}{2}.4{a^2} = dfrac{{4{a^2}}}{3}IO).

Do đó để ({V_{D.ABN}}) lớn nhất thì (OI) phải lớn nhất.

Vì (SA bot left( {SBD} right),,left( {cmt} right) Rightarrow SA bot SO Rightarrow Delta SOA) vuông tại S.

Đặt (SA = x,,left( {0 < x < asqrt 2 = OA} right)). Ta có (OA = dfrac{1}{2}AC = dfrac{1}{2}.2asqrt 2 = asqrt 2 Rightarrow SO = sqrt {O{A^2} - S{A^2}} = sqrt {2{a^2} - {x^2}} ).

Kẻ (SH bot AC,,left( {H in AC} right)) ta có (SH = dfrac{{SA.SO}}{{sqrt {S{A^2} + S{O^2}} }} = dfrac{{x.sqrt {2{a^2} - {x^2}} }}{{sqrt {{x^2} + 2{a^2} - {x^2}} }} = dfrac{{xsqrt {2{a^2} - {x^2}} }}{{asqrt 2 }}); (OH = dfrac{{S{O^2}}}{{OA}} = dfrac{{2{a^2} - {x^2}}}{{asqrt 2 }}).

(CH = OC + OH = asqrt 2 + dfrac{{2{a^2} - {x^2}}}{{asqrt 2 }} = dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{{asqrt 2 }})

Áp dụng định lí Ta-lét (OI // SH) ta có:

(dfrac{{OI}}{{SH}} = dfrac{{OC}}{{CH}} Rightarrow OI = dfrac{{dfrac{{xsqrt {2{a^2} - {x^2}} }}{{asqrt 2 }}.asqrt 2 }}{{dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{{asqrt 2 }}}} = dfrac{{xsqrt {2{a^2} - {x^2}} .asqrt 2 }}{{4{a^2} - {x^2}}} = adfrac{{xsqrt {4{a^2} - 2{x^2}} }}{{4{a^2} - {x^2}}})

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm(x) và (sqrt {4{a^2} - 2{x^2}} ) ta có: (xsqrt {4{a^2} - 2{x^2}} le dfrac{{{x^2} + 4{a^2} - 2{x^2}}}{2} = dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{2})

( Rightarrow OI le adfrac{{dfrac{{4{a^2} - {x^2}}}{2}}}{{4{a^2} - {x^2}}} = dfrac{a}{2}). Dấu "=" xảy ra ( Leftrightarrow x = sqrt {4{a^2} - 2{x^2}} Leftrightarrow {x^2} = 4{a^2} - 2{x^2} Leftrightarrow {x^2} = dfrac{4}{3}{a^2} Leftrightarrow x = dfrac{{2a}}{{sqrt 3 }}).

Vậy ({V_{DABN}} le dfrac{{4{a^2}}}{3}.dfrac{a}{2} = dfrac{{2{a^3}}}{3}) hay (max {V_{DABN}} = dfrac{{2{a^3}}}{3}).

Chọn A.