Dao động điều hòa

Một phần của chuỗi bài viết vềCơ học cổ điển F = d d t ( m v ) {displaystyle {textbf {F}}={frac {d}{dt}}(m{textbf {v}})}

Trong cơ học cổ điển, một dao động điều hoà là một hệ mà khi bị chuyển dời khỏi vị trí cân bằng, thì chịu tác dụng của lực kéo về F có độ lớn tỉ lệ thuận với độ lớn li độ x:

F → = − k x → , {displaystyle {vec {F}}=-k{vec {x}},}

với k là một hằng số dương.

Nếu F là lực duy nhất tác dụng lên hệ thì hệ này được gọi là một dao động điều hoà đơn giản, và chịu ảnh hưởng của chuyển động điều hoà đơn giản: dao động hình sin xung quanh vị trí cân bằng, với một biên độ không thay đổi và một tần số không thay đổi (không phụ thuộc vào biên độ).

Nếu một lực ma sát tỉ lệ thuận với vận tốc cũng có mặt ở đó, dao động điều hoà được gọi là dao động tắt dần. Tuỳ vào hệ số ma sát, hệ này có thể:

Một dao động điều hoà đơn giản là một dao động không tắt dần và cũng không cưỡng bức. Nó gồm có một khối lượng m, chịu tác dụng của một lực F kéo khối lượng theo hướng của điểm x = 0 và chỉ phụ thuộc vào vị trí x của khối lượng đó và một hằng số k. Cân bằng các lực (định luật II Newton) của hệ là:

F = m a = m d 2 x d t 2 = m x ¨ = − k x . {displaystyle F=ma=m{frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=m{ddot {x}}=-kx.}

Sau khi giải phương trình vi phân này, tìm được phương trình của dao động điều hoà:

x ( t ) = A cos ⁡ ( ω t + φ ) , {displaystyle x(t)=Acos(omega t+varphi ),}

với ω {displaystyle omega } là tần số góc:

ω = k m . {displaystyle omega ={sqrt {frac {k}{m}}}.}

Thế năng của một dao động điều hoà đơn giản tại vị trí x là

W t = 1 2 k x 2 . {displaystyle W_{t}={frac {1}{2}}kx^{2}.}
Một con lắc đơn thể hiện gần đúng chuyển động điều hoà đơn giản dưới điều kiện là không tắt dần và biên độ góc nhỏ.

Giả sử dao động không tắt dần, phương trình vi phân của một con lắc đơn có độ dài l {displaystyle l} , với g {displaystyle g} là gia tốc trọng trường cục bộ, là

d 2 θ d t 2 + g l sin ⁡ θ = 0. {displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{l}}sin theta =0.}

Nếu li độ cực đại của con lắc mà nhỏ, có thể coi sin ⁡ θ ≈ θ {displaystyle sin theta approx theta } và thay vào đó xét phương trình sau:

d 2 θ d t 2 + g l θ = 0. {displaystyle {frac {d^{2}theta }{dt^{2}}}+{frac {g}{l}}theta =0.}

Nghiệm chung cho phương trình vi phân này là

θ ( t ) = A cos ⁡ ( g l t + φ ) , {displaystyle theta (t)=Acos left({sqrt {frac {g}{l}}}t+varphi right),}

với A {displaystyle A} và φ {displaystyle varphi } là các hằng số phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu. Sử dụng điều kiện ban đầu θ ( 0 ) = θ 0 {displaystyle theta (0)=theta _{0}} và θ ˙ ( 0 ) = 0 {displaystyle {dot {theta }}(0)=0} , nghiệm này được cho bởi

θ ( t ) = θ 0 cos ⁡ ( g l t ) , {displaystyle theta (t)=theta _{0}cos left({sqrt {frac {g}{l}}}tright),}

với θ 0 {displaystyle theta _{0}} là góc lớn nhất mà con lắc có thể đạt tới (tức là, θ 0 {displaystyle theta _{0}} là biên độ góc của con lắc). Chu kì, hay thời gian đẻ hoàn thành một dao động hoàn toàn, được cho bởi công thức

τ = 2 π l g = 2 π ω , {displaystyle tau =2pi {sqrt {frac {l}{g}}}={frac {2pi }{omega }},}

khá tốt khi được dùng để tỉnh xấp xỉ chu kì thực sự khi θ 0 {displaystyle theta _{0}} nhỏ. Lưu ý rằng giá trị xấp xỉ chu kì τ {displaystyle tau } không phụ thuộc vào biên độ góc θ 0 {displaystyle theta _{0}} .

Kí hiệu Định nghĩa Thứ nguyên Đơn vị SI a {displaystyle a} Gia tốc của khối lượng L T − 2 {displaystyle mathbf {LT^{-2}} } m/s2 A {displaystyle A} Biên độ dao động L {displaystyle mathbf {L} } m c {displaystyle c} Hệ số tắt dần nhớt M T − 1 {displaystyle mathbf {MT^{-1}} } N·s/m f {displaystyle f} Tần số T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } Hz F {displaystyle F} Lực tác động M L T − 2 {displaystyle mathbf {MLT^{-2}} } N g {displaystyle g} Gia tốc trọng trường tại bề mặt Trái Đất L T − 2 {displaystyle mathbf {LT^{-2}} } m/s2 i {displaystyle i} Số ảo, i 2 = − 1 {displaystyle i^{2}=-1} — — k {displaystyle k} Hệ số lò xo (theo Định luật Hooke) M T − 2 {displaystyle mathbf {MT^{-2}} } N/m m , M {displaystyle m,M} Khối lượng M {displaystyle mathbf {M} } kg Q {displaystyle Q} Quality factor — — T {displaystyle T} Chu kì dao động T {displaystyle mathbf {T} } s t {displaystyle t} Thời gian T {displaystyle mathbf {T} } s W t {displaystyle W_{t}} Thế năng của dao động M L 2 T − 2 {displaystyle mathbf {ML^{2}T^{-2}} } J x {displaystyle x} Li độ L {displaystyle mathbf {L} } m ζ {displaystyle zeta } Tốc độ tắt dần — — φ {displaystyle varphi } Pha ban đầu — rad ω {displaystyle omega } Tần số góc T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } rad/s ω 0 {displaystyle omega _{0}} Tần số góc vang tự nhiên T − 1 {displaystyle mathbf {T^{-1}} } rad/s

Link nội dung: https://www.sachhayonline.com/dao-dong-dieu-hoa-la-a49729.html