Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng (cực hay)

Bài viết Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng.

Cách tìm điểm đối xứng của 1 điểm qua đường thẳng (cực hay)

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

A. Phương pháp giải

Cho điểm A và đường thẳng (d): ax + by + c = 0 . Tìm điểm M đối xứng với điểm A qua đường thẳng (d):

+ Bước 1: Lập phương trình đường thẳng AM:

⇒ Phương trình (AM) .

+ Bước 2: Gọi H là hình chiếu của A trên d. Khi đó AM và d giao nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ phương trình:

+ Bước 3: Do M đối xứng với A qua d nên H là trung điểm của AM.

Áp dụng công thức trung điểm đoạn thẳng ta được:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là:

A. ( -4; 8 ) B. (-4; -8 ) C. ( 4; 8) D. (4; -8)

Lời giải

+Phương trình đường thẳng MM’:

⇒ ( MM’) : 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 hay 3x + 2y - 28 = 0

+ Gọi H là hình chiếu của M lên d. Khi đó MM’ và d cắt nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm hệ : ⇒ H(6; 5)

+ Khi đó H là trung điểm của đoạn MM’. Áp dụng công thức trung điểm ta suy ra

. Vậy M’( 4; 8) .

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho điểm M(1; 2) và đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0. Toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d là:

A. ( ; ) B. (- ; ) C. (0; ) D. ( ; - 5)

Lời giải

Ta thấy M ∉ d .

Gọi H( a; b) là hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d MH→( a - 1; b - 2) .

Ta có đường thẳng d: 2x + y - 5 = 0 nên có vtpt: n→(2;1)

Suy ra u→( -1; 2) là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do đó H( ; ) .

Gọi M’( x; y) đối xứng với M qua đường thẳng d . Khi đó ta có: H là trung điểm của MM’

Ta có:

Vậy tọa độ điểm đối xứng với M qua d là M'( ; ) .

Chọn A.

Ví dụ 3 : Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 3 = 0 và M( 8; 2) . Tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d là

A. ( -4; 8) B. ( -4; -8) C. ( 4; 8) D. ( 4; -8)

Lời giải

+ Do M’ đối xứng với M qua d nên MM’ vuông góc với d.

+ Đường thẳng MM’:

⇒ MM’: 3( x - 8) + 2( y - 2) = 0 hay 3x + 2y - 28 = 0

+ Gọi H là giao điểm của MM’ và d. Khi đó tọa độ H là nghiệm hệ :

⇒ H( 6; 5)

+ Do M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’. Tọa độ điểm M’ là:

⇒ M’( 4; 8)

Chọn C.

Ví dụ 4: Cho điểm A( 1; 2) và đường thẳng (d): x + 2y - 3 = 0 .Tìm điểm đối xứng với A qua đường thẳng d.

A. ( 1; -2) B. ( ; ) C. ( ; ) D. Đáp án khác

Lời giải

+ Gọi H là hình chiếu của A lên đường thẳng (d) .

+ Lập phương trình đường thẳng AH:

( AH) :

⇒ Phương trình ( AH) : 2( x - 1) - 1.( y - 2) = 0 hay 2x - y = 0

+ Hai đường thẳng AH và d cắt nhau tại H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:

+ Gọi B đối xứng với A qua d. Khi đó; H là trung điểm của AB.

⇒ Tọa độ điểm B là: ⇒ B( ; )

Chọn B.

Ví dụ 5: Cho điểm A( 2; 0) và đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d.

A. ( 2; -1) B. (2; 0) C. ( 1; -2) D. (-2; -1)

Lời giải

Ta có: 2 + 0 - 2 = 0 nên điểm A thuộc đường thẳng d.

⇒ Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d chính là điểm A.

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có A( 0; -2).Gọi I ( 2; 4) là trung điểm của AB và J( -4; 2) là trung điểm của AC. Gọi điểm A’ đối xứng điểm A qua BC. Viết phương trình đường thẳng AA’?

A. 6x + 2y - 3 = 0 B. 6x + 2y + 4 =0 C. 2x - y + 1 = 0 D. Tất cả sai

Lời giải

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+ Do A’ đối xứng với A qua BC

⇒ AA’ vuông góc BC (2).

Từ(1) và ( 2) suy ra: AA’ vuông góc IJ

+ Lập phương trình AA’:

⇒ ( AA’): 6(x - 0) + 2( y + 2) = 0 hay 6x + 2y + 4 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng ∆ : và điểm M(1; 2). Tìm điểm đối xứng với M qua đường thẳng ∆ là:

A. (4; -2) B. M’(- ; ) C. M’( ; ) D. M’( ; )

Lời giải

Gọi M’ đối xứng với M qua ∆.

+ Đường thẳng MM’:

⇒ Phương trình đường thẳng MM’:

3(x - 1) - 2(y - 2)= 0 hay 3x - 2y + 1 = 0.

+ Giao điểm H của đường thẳng MM’ và ∆ là nghiệm hệ:

+ Điểm M đối xứng M’ qua ∆ nên H là trung điểm MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:

⇒ M’(- ; )

Chọn B.

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có AB = 6; BC = 6√2 và góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?

A. Tứ giác ACA’B là hình thoi

B. AA’ = 3

C. BA’ = 6

D. Tứ giác ACA’B là hình bình hành

Lời giải

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 - 2.AC.BC.Cos B

= 62 + (6√2)2 - 2.6.6√2.cos450 = 36

⇒ AC = 6 nên AB = AC = 6 và AB2 + AC2 = BC2

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

+ Gọi H là chân đường cao hạ từ điểm A lên BC.

AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH = BC/2 = 3√2 ⇒ AA’= 6√2

+ Do A’ đối xứng với điểm A qua BC nên H là trung điểm của AA’ và AA’; BC vuông góc với nhau.

Tứ giác ACA’B có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ ACA’B là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau nên ACA’B là hình thoi.

⇒ B sai

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm điểm A’ đối xứng với điểm A( 3;-4) qua đường thẳng d:

A. ( 4; -2) B. (5; 0) C. ( -1; 2) D. ( -1; -3)

Lời giải:

Đáp án: B

+ Trước tiên ta tìm hình chiếu của A lên d.

Gọi điểm H(2 + 2t; -1 - t) thuộc d là hình chiếu của A.

Ta có AH→( 2t - 1; 3 - t).

Vectơ chỉ phương của d là u→( 2; -1)

+Do H là hình chiếu của A trên d nên AH vuông góc với d

⇔ u→ . AH→ = 0 ⇔ 2( 2t - 1) - 1( 3 - t) = 0

⇔ 4t- 2- 3+ t= 0 ⇔ t= 1

⇒ H( 4; -2)

Vậy hình chiếu của A trên d là H( 4; -2).

+ Do A’ đối xứng với A qua d nên H là trung điểm của AA’.

⇒ Tọa độ điểm A’ là:

Câu 2: Cho đường thẳng ∆: . Hoành độ điểm M’ đối xứng với M( 4; 5) qua ∆ gần nhất với số nào sau đây ?

A. 1,12 B. - 0, 91 C. 1,31 D. - 0,92

Lời giải:

Đáp án: D

+ Ta tìm hình chiếu của M trên ∆.

Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H ∈ ∆ nên H( 2 - 3t; 1 + 2t) và MH→( -2 - 3t; -4 + 2t)

Đường thẳng ∆có vectơ chỉ phương là u→(3; - 2) .

MH→ ⊥ u→ ⇔ MH→ . u→ = 0 ⇔ 3(-2 - 3t) - 2(-4 + 2t) = 0 ⇔ -13t + 2 = 0 ⇔ t = ⇒

+ Ta tìm điểm M’ đối xứng với M qua ∆.

Ta có H là hình chiếu của M trên ∆ trên M là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’ là:

⇒ Hoành độ điểm M’ xấp xỉ - 0,92

Câu 3: Tìm điểm M’ đối xứng với M(4; 1) qua đường thẳng d: x - 2y + 4 = 0 là:

A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; )

Lời giải:

Đáp án: C

Đường thẳng d có 1 VTPT n→( 1; -2).

+ Ta tìm hình chiếu của M trên d.

Gọi H( 2t - 4; t) là hình chiếu của M( 4; 1) trên đường thẳng d.

Suy ra MH vuông góc d nên hai vecto MH→(2t - 8; t- 1) và n→(1; -2) cùng phương.

Do đó:

+ Điểm M’ đối xứng với M qua d nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’ là: ⇒ M’( ; )

Câu 4: Cho tam giác ABC có A(1; 3).Gọi I(2; 1) là trung điểm của AB và J( -1; 0) là trung điểm của AC. Tìm điểm K đối xứng với điểm A qua IJ?

A. K( ; - ) B. K( ; ) C. K( - ; - ) D. K( ; )

Lời giải:

Đáp án: A

+ Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ IJ// BC ( 1) .

+Gọi H là hình chiếu của A lên IJ

⇒ AH vuông góc IJ .

+ Lập phương trình AH:

⇒ ( AH): - 3( x - 1) - 1( y - 3) = 0 hay 3x + y - 6 = 0.

+ Phương trình IJ:

⇒ Phương trình IJ: 1( x - 2) - 3( y - 1) = 0 hay x - 3y + 1 = 0.

+ Giao điểm của IJ và AH là H. Tọa độ điểm H là nghiệm hệ :

+ Gọi điểm K đối xứng với A qua IJ. Khi đó; H là trung điểm của AK

⇒ Tọa độ điểm K: ⇒ K( ; - )

Câu 5: Cho điểm M(- 2; 1) và đường thẳng ∆: 2x - y + 4 = 0.Gọi điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Khi đó điểm M’ nằm trên đường thẳng nào?

A. x + 2y - 3 = 0 B. 2x + 4y - 3 = 0 C. x + 2y = 0 D. x + 2y - 6 = 0

Lời giải:

Đáp án: C

+ Đường thẳng ∆ có 1 VTPT n→( 2; -1)

Gọi H( t; 2t + 4) là hình chiếu của M trên đường thẳng ∆ thì MH→( t + 2; 2t + 3)

⇒ Hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau nên hai vecto MH→ và n→( 2; -1) cùng phương. Suy ra: ⇔ - t - 2 = 4t + 6 ⇔ t = -

⇒ Tọa độ điểm H( - ; ) .

+ Do điểm M’ đối xứng với M qua ∆ nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’: ⇒ M’(- ; )

⇒ điểm M’thuộc đường thẳng: x + 2y = 0

Câu 6: Cho đường thẳng ∆: và điểm M(2; -3); điểm A(-0,6; -1,8). Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua đường thẳng ∆. Tính độ dài AM’

A. 3 B. 4 C. 5 D. √17

Lời giải:

Đáp án: C

+ Gọi H là hình chiếu của M trên ∆.

Ta có: H thuộc ∆ nên H( -3 + t ; - 2t) ⇒ MH→( t- 5 ; 3 - 2t)

Đường thẳng có vectơ chỉ phương là u→( 1; -2) .

Do H là hình chiếu vuông góc của M trên ∆ nên hai đường thẳng MH và ∆ vuông góc với nhau

⇒ MH→ . u→ = 0 ⇔ 1(t - 5) - 2( 3 - 2t) = 0

⇔ t - 5 - 6 + 4t = 0 ⇔ 5t = 11 ⇔ t = 2,2

⇒ H (- 0,8; - 4,4) .

+ Điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆ nên H là trung điểm của MM’. Suy ra tọa độ điểm M’:

⇒ M’( -3,6; -5,8).

Độ dài đoạn AM’ là:

= 5

Câu 7: Tìm điểm đối xứng với điểm A( 1; 2) qua đường thẳng d: = 1

A. H( 1; 2) B. H( ; ) C. H( - ; ) D. H( ; )

Lời giải:

Đáp án: D

+ Phương trình tổng quát của đường thẳng d: 2x - 6y + 12 = 0 hay x - 3y + 6 = 0

+ Lấy điểm H(3t - 6; t) thuộc d -là hình chiếu vuông góc của A lên d.

Ta có AH→( 3t - 7; t - 2)

Vectơ pháp tuyến của d là n→( 1; -3) .

+Do H là hình chiếu của A trên d nên hai vecto AH→ và n→ cùng phương :

⇔ ⇔ - 3( 3t - 7) = 1( t - 2)

⇔ - 9t + 21 = t - 2 ⇔ t =

+ Với t = ta có H( ; )

+ Gọi điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. Suy ra H là trung điểm của AA’.

⇒ Tọa độ điểm A’: ⇒ M’( ; )

Câu 8: Cho tam giác ABC có AB = 1; BC = 1√2 và góc B = 450.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua BC. Tìm mệnh đề sai?

A. Tứ giác ACA’B là vuông

B. AA’ = 2

C. BA’ = 1

D. Tứ giác ACA’B là hình bình hành

Lời giải:

Đáp án: B

+ Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

AC2 = AB2 + BC2 - 2.AC.BC.Cos B

= 12 + (1√2)2 - 2.1.1√2.cos450 = 1

⇒ AC = 1 nên AB = AC = 1 và AB2 + AC2 = BC2

⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

+ Gọi H là chân đường cao hạ từ điểm A lên BC.

⇒ AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến

⇒ H là trung điểm của BC: AH = BH = CH =

⇒ AA’= √2

+ Do A’ đối xứng với điểm A qua BC nên H là trung điểm của AA’ và AA’; BC vuông góc với nhau.

Tứ giác ACA’B có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒ ACA’B là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AA’; BC vuông góc với nhau nên ACA’B là hình thoi.

Tam giác ABC vuông cân nên = 900

⇒ Tứ giác ACA’B là hình vuông.

⇒ B sai

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường thẳng d: 2x + 3y + 5 = 0 và M(2; 6) . Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d.

Bài 2. Cho điểm M(3; 4) và đường thẳng d: 3x + 2y - 5 = 0. Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua d.

Bài 3. Cho đường thẳng d: 3x - 5y + 6 = 0 và M(2; 6) Tìm tọa độ của điểm M’ đối xứng với M qua d.

Bài 4. Cho đường thẳng d: {x = 1 + 2t; y = 3 - 2t} và điểm M(3; 5). Tìm điểm đối xứng với M qua đường thẳng d.

Bài 5. Tìm điểm B đối xứng với điểm A(3; -4) qua đường thẳng d: {x = 5 - 4t; y = t + 2}.

(199k) Xem Khóa học Toán 10 KNTTXem Khóa học Toán 10 CDXem Khóa học Toán 10 CTST

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:

• Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng
• Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
• Tìm điểm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước
• Viết phương trình đường thẳng d’ đối xứng với đường thẳng d qua 1 điểm
• Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng
• Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều