Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác

a) Gọi AM là đường cao của tam giác ABC ( Rightarrow H in AM).

+) (left{ begin{array}{l}BC bot AMBC bot SAend{array} right. Rightarrow BC bot left( {SAM} right)).

+) (left{ begin{array}{l}BC bot left( {SAM} right)SM subset left( {SAM} right)end{array} right. Rightarrow BC bot SM).

Suy ra SM là đường cao của tam giác SBC ( Rightarrow K in SM).

Vậy AH, SK, BC đồng quy tại M.

b) Vì H là trực tâm tam giác ABC ( Rightarrow CH bot AB).

+) (left{ begin{array}{l}CH bot ABCH bot SAend{array} right. Rightarrow CH bot left( {SAB} right))

+) (left{ begin{array}{l}CH bot left( {SAB} right)CH subset left( {CHK} right)end{array} right. Rightarrow left( {CHK} right) bot left( {SAB} right)).

Ta có: (left{ begin{array}{l}CH bot left( {SAB} right)SB subset left( {SAB} right)end{array} right. Rightarrow CH bot SB)

Vì K là trực tâm của tam giác SBC ( Rightarrow CK bot SB).

+) (left{ begin{array}{l}SB bot CHSB bot CKend{array} right. Rightarrow SB bot left( {CHK} right)).

+) (left{ begin{array}{l}SB bot left( {CHK} right)SB subset left( {SBC} right)end{array} right. Rightarrow left( {SBC} right) bot left( {CHK} right))

c) Ta có: (left{ begin{array}{l}SB bot left( {CHK} right)HK subset left( {CHK} right)end{array} right. Rightarrow HK bot SB,,,left( 1 right)).

Nối BH. Vì H là trực tâm tam giác ABC ( Rightarrow BH bot AC).

+) (left{ begin{array}{l}BH bot ACBH bot SAend{array} right. Rightarrow BH bot left( {SAC} right))

+) (left{ begin{array}{l}BH bot left( {SAC} right)SC subset left( {SAC} right)end{array} right. Rightarrow BH bot SC).

Vì K là trực tâm của tam giác SBC ( Rightarrow BK bot SC).

+) (left{ begin{array}{l}BH bot SCBK bot SCend{array} right. Rightarrow SC bot left( {BHK} right))

+) (left{ begin{array}{l}SC bot left( {BHK} right)HK subset left( {BHK} right)end{array} right. Rightarrow HK bot SC,,,left( 2 right)).

Từ (1) và (2) ta có: (left{ begin{array}{l}HK bot SBHK bot SCend{array} right. Rightarrow HK bot left( {SBC} right)) (đpcm).