Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 đơn giản và nhanh chóng

Khi cho trước một phương trình bậc 2 và muốn kết luận về số nghiệm hay biết cụ thể các giá trị nghiệm, chúng ta cần dựa vào công thức nghiệm để có thể tìm nghiệm. Tuy nhiên, đối với một số phương trình bậc 2 đặc biệt, thay vì sử dụng công thức nghiệm chúng ta chỉ cần nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 là có thể tìm ra các giá trị nghiệm. Vậy, đối với những phương trình bậc 2 như thế nào thì ta có thể nhẩm nghiệm? Để hiểu rõ hơn về nội dung chi tiết, chúng ta hãy cùng đi vào tìm hiểu bài viết sau đây.

1. Nhắc lại về phương trình bậc 2

+ Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (với a 0).

Ví dụ: Phương trình: x2 + 2x - 5 = 0 là một phương trình bậc 2.

+ Cách xác định các hệ số:

• a là hệ số đứng trước x2.
• b là hệ số đứng trước x.
• c là hệ số tự do.

Ví dụ: Phương trình: x2 + 2x - 5 = 0 là một phương trình bậc 2 có các hệ số: a = 1; b = 2; c = - 5.

2. Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

2.1. Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 trong trường hợp a+b+c=0

+ Lý thuyết: Đối với phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c = 0 (với a 0) trong đó a + b + c = 0 thì phương trình bậc hai luôn luôn có hai nghiệm phân biệt là:

x1 = 1 và x2 = .

Ví dụ: Hãy tìm nghiệm của phương trình bậc 2: 2x2 + 3x - 5 = 0 bằng cách nhẩm nghiệm.

Giải

+ Phương trình bậc 2: 2x2 + 3x - 5 = 0 có các hệ số a = 2; b = 3; c = - 5.

+ Ta có: a + b + c = 2 + 3 + (- 5) = 0.

Do đó, phương trình bậc 2 nêu trên có hai nghiệm phân biệt là: x1 = 1; x2 = = .

2.2. Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 trong trường hợp a-b+c=0

+ Lý thuyết: Đối với phương trình bậc 2 có dạng ax2 + bx + c = 0 (với a 0) trong đó a - b + c = 0 thì phương trình bậc hai luôn luôn có hai nghiệm phân biệt là:

x1 = -1 và x2 = .

Ví dụ: Hãy tìm nghiệm của phương trình bậc 2: 2x2 - 3x - 5 = 0 bằng cách nhẩm nghiệm.

Giải

+ Phương trình bậc 2: 2x2 - 3x - 5 = 0 có các hệ số a = 2; b = - 3; c = - 5.

+ Ta có: a - b + c = 2 - (- 3) + (- 5) = 0.

Do đó, phương trình bậc 2 nêu trên có hai nghiệm phân biệt là:

x1 = - 1; x2 = = .

3. Bài tập ứng dụng cách nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Bài 1: Cho phương trình bậc 2: 3x2 - 5x - 8 = 0. Trong các phát biểu sau, phát biểu sai là:

1. Phương trình bậc 2 nêu trên có hệ số tự do bằng - 8
2. Phương trình bậc 2 nêu trên có a - b + c = 0
3. x = 1 là một nghiệm của phương trình bậc 2 nêu trên
4. Phương trình bậc 2 nêu trên có hai nghiệm phân biệt

+ Phương trình bậc 2: 3x2 - 5x - 8 = 0 có các hệ số a = 3; b = - 5; c = - 8.

Trong đó: c = - 8 là hệ số tự do.

Vậy, A đúng.

+ Ta có: a - b + c = 3 - (- 5) + (- 8) = 0.

Vậy, B đúng.

+ Vì phương trình bậc 2 có: a - b + c = 0 nên phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt là:

x1 = - 1; x2 = = .

Vậy, D đúng, C sai.

Chọn câu C

Bài 2: Ta có thể nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nào sau đây?

1. x2 - x - 1 = 0
2. x2 - 2x - 5 = 0
3. x2 + 5x + 6 = 0
4. x2 + 6x - 7 = 0

+ Đối với phương trình bậc 2 ở câu D, ta có các hệ số: a = 1; b = 6; c = - 7.

Trong đó, a + b + c = 1 + 6 + (- 7) = 0 rơi vào một trong hai trường hợp có thể nhẩm nghiệm phương trình bậc 2.

Chọn câu D

Bài 3: Cho phương trình: mx2 - 2x + 2 - m = 0 trong đó: m là tham số; m 0. Trong các phát biểu sau, phát biểu đúng là:

1. x = - 1 là một nghiệm của phương trình bậc 2 nêu trên
2. Phương trình nêu trên chưa chắc là phương trình bậc 2 vì chưa biết cụ thể hệ số đứng trước x2
3. Phương trình bậc 2 nêu trên là một phương trình có hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m
4. Có thể nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nêu trên

+ Hệ số đứng trước x2 là m. Tuy nhiên, theo đề bài: m 0 nên phương trình đã cho là phương trình bậc 2.

Vậy, B sai.

+ Phương trình bậc 2 nêu trên có các hệ số: a = m; b = - 2; c = 2 - m.

Trong đó, a + b + c = m + (- 2) + 2 - m = 0 rơi vào một trong hai trường hợp có thể nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2.

Vậy, D đúng.

+ Vì a + b + c = 0 nên phương trình bậc 2 có hai nghiệm phân biệt là:

x1 = 1 và x2 = = .

Vậy, A và C sai.

Chọn câu D

Bài 4: Phương trình bậc 2: 3x2 - x - 4 = 0 có các nghiệm là:

1. x1 = 1; x2 = .
2. x1 = 1; x2 = .
3. x1 = - 1; x2 = .
4. x1 = - 1; x2 = .

+ Phương trình bậc 2: 3x2 - x - 4 = 0 có các hệ số a = 3; b = - 1; c = - 4.

Trong đó, a - b + c = 3 - (- 1) + (- 4) = 0.

Do đó, phương trình bậc 2 nêu trên có hai nghiệm phân biệt là:

x1 = - 1; x2 = = .

Chọn câu C

Bài 5: x = 1 luôn luôn là một nghiệm của phương trình nào sau đây?

1. x2 - 4x + 4 = 0
2. 3x2 - 6x = 0
3. 5x2 - x - 4 = 0
4. 2x2 - 8 = 0

+ Phương trình bậc 2 ở câu C có các hệ số: a = 5; b = - 1; c = - 4.

Trong đó, a + b + c = 5 + (- 1) + (- 4) = 0.

Do đó, x = 1 luôn luôn là một nghiệm của phương trình bậc 2.

Chọn câu C

Mong rằng thông qua bài viết, các em có thể ghi nhớ được các trường hợp mà chúng ta có thể nhẩm nghiệm phương trình bậc 2. Đồng thời áp dụng vào việc giải quyết các bài tập liên quan.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang