Giáo án điện tử chuyên đề Toán 11 kết nối Bài 7: Phép đồng dạng

CHÀO MỪNG CẢ LỚP ĐẾN VỚI BUỔI HỌC HÔM NAY!

KHỞI ĐỘNG

Phép dời hình cho phép ta thể hiện mối quan hệ giống nhau cả về hình dạng và kích thước giữa các hình.

Đối với các hình chỉ giống nhau về hình dạng còn kích thước có thể khác nhau thì sao? Đối tượng toán học nào cho phép ta thể hiện điều đó?

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÉP BIẾN HÌNH

TRONG MẶT PHẲNG

BÀI 7:

PHÉP ĐỒNG DẠNG

Hai tấm ảnh Dinh Thống Nhất ở hình trên giống nhau về hình dạng, chỉ khác nhau về kích thước.

a) Hãy đo và cho biết chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp mấy lần chiều dài, chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.

b) Nếu lấy hai vị trí A, B bất kì thuộc tấm ảnh nhỏ và các vị trí A', B' tương ứng với chúng trên tấm ảnh lớn thì khoảng cách giữa A' và B' gấp mấy lần khoảng cách giữa A và B? Hãy lấy ví dụ cụ thể các vị trí và đo để kiểm tra câu trả lời của bạn.

Giải:

a) Qua đo đạc, ta thấy chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh lớn tương ứng gấp 2 lần chiều dài và chiều rộng của tấm ảnh nhỏ.

b) Lấy các điểm A,B và A',B' tương ứng như hình vẽ.

Khái niệm

Phép biến hình được gọi là phép đồng dạng tỉ số nếu với hai điểm bất kì và hai ảnh tương ứng của chúng, ta có .

Phép dời hình và phép vị tự tỉ số có phải là các phép đồng dạng hay không? Nếu có thì có tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Giải:

+ Phép dời hình cũng là phép đồng dạng với tỉ số

Ta chứng minh như sau:

Cho hai điểm bất kì và ảnh tương ứng của nó qua phép dời hình.

Khi đó là ảnh của hai điểm bất kì qua phép đồng dạng tỉ số 1.

+ Phép vị tự với tỉ số là phép đồng dạng với tỉ số đồng dạng

Ta chứng minh như sau:

Cho hai điểm bất kì và ảnh tương ứng của nó qua phép vị tự tỉ số .

Khi đó là ảnh của hai điểm bất kì qua phép đồng dạng tỉ số

Ví dụ 1:Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp một phép dời hình và một phép vị tự là một phép đồng dạng với tỉ số

Giải:

Với hai điểm bất kì , giả sử phép dời hình biến tương ứng thành và biến tương ứng thành

Vì là phép dời hình nên

Mặt khác

Do đó . Vậy ta có điều phải chứng minh.

Luyện tập 1

Chứng minh rằng phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đồng dạng với tỉ số và phép đồng dạng với tỉ số là một phép đồng dạng với tỉ số

Giải:

Lấy hai điểm bất kì. Gọi tương ứng là ảnh của qua phép đồng dạng với tỉ số

Gọi tương ứng là ảnh của qua phép đồng dạng với tỉ số

Do đó, tương ứng là ảnh của qua phép đồng dạng với tỉ số .

Ví dụ 2:Trong Hình 1.51, Hình c) có kích thước gấp đôi các Hình a), b). Bằng quan sát, hãy chỉ ra phép đồng dạng biến Hình b) thành Hình c).

Giải:

Phép đối xứng qua trục biến Hình b) thành Hình a).

Phép vị tự tâm , tỉ số biến Hình a) thành Hình c).

Như vậy, phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép đối xứng trục và phép vị tự biến Hình b) thành Hình c).

Chú ý: Với hai hình và nếu có phép đồng dạng biến thành thì cũng có phép đồng dạng biến thành và ta nói và đồng dạng.

Luyện tập 2

Cho đường thẳng và hai điểm phân biệt . Điểm thay đổi trên đường thẳng . Gọi là điểm đối xứng của qua đường thẳng và là trung điểm của đoạn thẳng . Chứng minh rằng thuộc một đường thẳng cố định.

Giải:

Gọi là ảnh của qua phép đối xứng trục , khi đó thuộc .

Vì và cố định nên cố định.

Vậy luôn thuộc đường thẳng cố định.

Vận dụng

Trong hai hình Dinh Thống Nhất ở Hình 1.50, hãy chỉ ra phép đồng dạng biến hình nhỏ thành hình lớn.

Giải:

Phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm với là đỉnh góc trên bên trái bức ảnh lớn, góc quay và phép vị tự tâm tỉ số 2.

LUYỆN TẬP

Bài 1.24 (SGK - tr.31) Một phép đồng dạng biến ba đỉnh của tam giác tương ứng thành Chứng minh rằng

Giải:

Giả sử phép đồng dạng biến ba đỉnh của tam giác tương ứng thành . Khi đó ta có số khác 0 thỏa mãn: .

Bài 1.25 (SGK - tr.31) Trong mặt phẳng toạ độ , cho phép biến hình biến mỗi điểm thành điểm

a) Tìm ảnh của các điểm

b) Chứng minh rằng là một phép đồng dạng. Tìm tỉ số đồng dạng.

Giải:

a) Ảnh của điểm qua phép biến hình là

Ảnh của điểm qua phép biến hình là

b) Chọn hai điểm bất kì.

Gọi tương ứng là ảnh của qua phép biến hình .

Khi đó

Ta có:

Vậy phép biến hình là phép đồng dạng với tỉ số

- Còn tiếp -