Cách xác định điểm thuộc và không thuộc đường thẳng trong không gian - Toán 12

* Đối với phương trình chính tắc của đường thẳng:

Bước 1: Thay toạ độ điểm đã cho vào x, y, z của phương trình chính tắc của đường thẳng.

Bước 2: Nếu các vế của phương trình bằng nhau thì điểm thuộc đường thẳng và ngược lại.

* Đối với phương trình tham số của đường thẳng:

Bước 1: Thay toạ độ điểm đã cho vào x, y, z của phương trình tham số của đường thẳng.

Bước 2: Nếu tìm được một giá trị t thoả mãn hệ thì điểm thuộc đường thẳng và ngược lại.

Ví dụ minh hoạ:

1) Trong không gian Oxyz, đường thẳng d có phương trình (frac{{x - 1}}{3} = frac{{y + 2}}{2} = frac{{z - 3}}{{ - 4}}). Điểm nào sau đây không thuộc đường thẳng d?

A. Q(-2;-4;7)

B. N(4;0;-1)

C. M(1;-2;3)

D. P(7;2;1)

Giải:

Thay toạ độ điểm Q vào phương trình:

(frac{{ - 2 - 1}}{3} = - 1); (frac{{ - 4 + 2}}{2} = - 1); (frac{{7 - 3}}{{ - 4}} = - 1).

Do đó Q thuộc đường thẳng.

Thay toạ độ điểm N vào phương trình:

(frac{{4 - 1}}{3} = 1); (frac{{0 + 2}}{2} = 1); (frac{{ - 1 - 3}}{{ - 4}} = 1).

Do đó N thuộc đường thẳng.

Thay toạ độ điểm M vào phương trình:

(frac{{1 - 1}}{3} = 0); (frac{{ - 2 + 2}}{2} = 0); (frac{{3 - 3}}{{ - 4}} = 0).

Do đó M thuộc đường thẳng.

Thay toạ độ điểm P vào phương trình:

(frac{{7 - 1}}{3} = 2); (frac{{2 + 2}}{2} = 2); (frac{{1 - 3}}{{ - 4}} = frac{1}{2}).

Do đó P không thuộc đường thẳng.

Đáp án: D.

2) Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng d: (left{ {begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + 2t}{y = 1 - 3t}{z = {rm{;}} - 1 + t}end{array}} right.)?

Giải:

A. ({M_1}left( {3;1; - 1} right))

B. ({M_2}left( {2; - 3;1} right))

C. ({M_3}left( {1;3; - 1} right))

D. ({M_4}left( { - 3; - 1;1} right))

Giải:

Thay toạ độ điểm ({M_1}left( {3;1; - 1} right)) vào phương trình:

(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{3 = 3 + 2t}{1 = 1 - 3t}{ - 1 = - 1 + t}end{array}} right. Leftrightarrow t = 0).

Vì t = 0 thoả mãn hệ nên ({M_1}left( {3;1; - 1} right)) thuộc d.

Thay toạ độ điểm ({M_2}left( {2; - 3;1} right)) vào phương trình:

(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{2 = 3 + 2t}{ - 3 = 1 - 3t}{1 = - 1 + t}end{array}} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = - frac{1}{2}t = frac{4}{3}t = 2end{array} right.) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).

Vì không có t thoả mãn hệ nên ({M_2}left( {2; - 3;1} right)) không thuộc d.

Thay toạ độ điểm ({M_3}left( {1;3; - 1} right)) vào phương trình:

(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{1 = 3 + 2t}{3 = 1 - 3t}{ - 1 = - 1 + t}end{array}} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = - 1t = - frac{2}{3}t = 0end{array} right.) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).

Vì không có t thoả mãn hệ nên ({M_3}left( {1;3; - 1} right)) không thuộc d.

Thay toạ độ điểm ({M_4}left( { - 3; - 1;1} right)) vào phương trình:

(left{ {begin{array}{*{20}{l}}{ - 3 = 3 + 2t}{ - 1 = 1 - 3t}{1 = - 1 + t}end{array}} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}t = - 3t = frac{2}{3}t = 2end{array} right.) (vô lí vì t không thể cùng lúc nhận 3 giá trị).

Vì không có t thoả mãn hệ nên ({M_4}left( { - 3; - 1;1} right)) không thuộc d.

Đáp án: A.