Đạo hàm nhanh: Công thức tính nhanh bậc 2 trên bậc 1 và bài tập

Đạo hàm nhanh là kỹ năng quan trọng giúp học sinh tiết kiệm thời gian khi làm bài thi trắc nghiệm Toán. Bài viết dưới đây tổng hợp đầy đủ bảng công thức, quy tắc và mẹo tính đạo hàm nhanh kèm theo các bài tập ví dụ có lời giải chi tiết, giúp bạn làm chủ dạng toán này một cách dễ dàng.

1. Bảng công thức đạo hàm cơ bản cần nhớ

Để tính đạo hàm nhanh, trước tiên bạn cần thuộc lòng các công thức đạo hàm cơ bản sau đây.

1.1. Đạo hàm các hàm số sơ cấp

Hàm số ( y = f(x) ) Đạo hàm ( y’ = f'(x) ) ( y = c ) (hằng số) ( y’ = 0 ) ( y = x ) ( y’ = 1 ) ( y = x^n ) ( y’ = n cdot x^{n-1} ) ( y = sqrt{x} ) ( y’ = frac{1}{2sqrt{x}} ) ( y = frac{1}{x} ) ( y’ = -frac{1}{x^2} ) ( y = frac{1}{x^n} ) ( y’ = -frac{n}{x^{n+1}} ) ( y = sqrt[n]{x} ) ( y’ = frac{1}{n cdot sqrt[n]{x^{n-1}}} )

1.2. Đạo hàm các hàm lượng giác

Hàm số ( y = f(x) ) Đạo hàm ( y’ = f'(x) ) ( y = sin x ) ( y’ = cos x ) ( y = cos x ) ( y’ = -sin x ) ( y = tan x ) ( y’ = frac{1}{cos^2 x} = 1 + tan^2 x ) ( y = cot x ) ( y’ = -frac{1}{sin^2 x} = -(1 + cot^2 x) )

1.3. Đạo hàm hàm mũ và logarit

Hàm số ( y = f(x) ) Đạo hàm ( y’ = f'(x) ) ( y = e^x ) ( y’ = e^x ) ( y = a^x ) với ( a > 0, a neq 1 ) ( y’ = a^x cdot ln a ) ( y = ln x ) ( y’ = frac{1}{x} ) ( y = log_a x ) ( y’ = frac{1}{x cdot ln a} )

2. Các quy tắc tính đạo hàm nhanh

Nắm vững các quy tắc sau sẽ giúp bạn đạo hàm nhanh các biểu thức phức tạp.

2.1. Quy tắc đạo hàm cơ bản

Quy tắc Công thức Nhân hằng số ( (k cdot u)’ = k cdot u’ ) Tổng - Hiệu ( (u pm v)’ = u’ pm v’ ) Tích ( (u cdot v)’ = u’ cdot v + u cdot v’ ) Thương ( left( frac{u}{v} right)’ = frac{u’ cdot v - u cdot v’}{v^2} )

2.2. Quy tắc đạo hàm hàm hợp

Công thức tổng quát: Nếu ( y = f(u) ) với ( u = g(x) ), thì:

( y’_x = y’_u cdot u’_x )

Cách nhớ: Đạo hàm hàm ngoài (giữ nguyên hàm trong) nhân với đạo hàm hàm trong.

3. Bảng công thức đạo hàm nhanh hàm hợp

Đây là bảng công thức đạo hàm nhanh quan trọng nhất, giúp bạn tính toán tức thì mà không cần trình bày nhiều bước.

3.1. Đạo hàm hàm hợp cơ bản

Hàm số Công thức đạo hàm nhanh ( y = u^n ) ( y’ = n cdot u^{n-1} cdot u’ ) ( y = sqrt{u} ) ( y’ = frac{u’}{2sqrt{u}} ) ( y = frac{1}{u} ) ( y’ = -frac{u’}{u^2} ) ( y = sqrt[n]{u} ) ( y’ = frac{u’}{n cdot sqrt[n]{u^{n-1}}} )

3.2. Đạo hàm hàm hợp lượng giác

Hàm số Công thức đạo hàm nhanh ( y = sin u ) ( y’ = u’ cdot cos u ) ( y = cos u ) ( y’ = -u’ cdot sin u ) ( y = tan u ) ( y’ = frac{u’}{cos^2 u} ) ( y = cot u ) ( y’ = -frac{u’}{sin^2 u} )

3.3. Đạo hàm hàm hợp mũ - logarit

Hàm số Công thức đạo hàm nhanh ( y = e^u ) ( y’ = u’ cdot e^u ) ( y = a^u ) ( y’ = u’ cdot a^u cdot ln a ) ( y = ln u ) ( y’ = frac{u’}{u} ) ( y = log_a u ) ( y’ = frac{u’}{u cdot ln a} )

4. Mẹo tính đạo hàm nhanh không cần máy tính

Dưới đây là những mẹo đạo hàm nhanh giúp bạn giải quyết bài toán trong thời gian ngắn nhất.

4.1. Công thức đạo hàm nhanh hàm bậc nhất

Công thức 1: ( (ax + b)^n )

( [(ax + b)^n]’ = n cdot a cdot (ax + b)^{n-1} )

Công thức 2: ( sqrt{ax + b} )

( (sqrt{ax + b})’ = frac{a}{2sqrt{ax + b}} )

Công thức 3: ( frac{1}{ax + b} )

( left( frac{1}{ax + b} right)’ = -frac{a}{(ax + b)^2} )

4.2. Công thức đạo hàm nhanh hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Dạng: ( y = frac{ax + b}{cx + d} )

Công thức đạo hàm nhanh:

( y’ = frac{ad - bc}{(cx + d)^2} )

Cách nhớ: Tử = chéo trừ chéo (ad - bc), Mẫu = bình phương mẫu cũ.

4.4. Công thức đạo hàm nhanh đặc biệt

Dạng hàm số Công thức nhanh ( y = ln|ax + b| ) ( y’ = frac{a}{ax + b} ) ( y = e^{ax + b} ) ( y’ = a cdot e^{ax + b} ) ( y = a^{bx + c} ) ( y’ = b cdot a^{bx + c} cdot ln a ) ( y = sin(ax + b) ) ( y’ = a cdot cos(ax + b) ) ( y = cos(ax + b) ) ( y’ = -a cdot sin(ax + b) ) ( y = tan(ax + b) ) ( y’ = frac{a}{cos^2(ax + b)} )

5. Bài tập ví dụ tính đạo hàm nhanh có lời giải

Áp dụng các công thức trên, chúng ta cùng giải các bài tập đạo hàm nhanh sau đây.

Ví dụ 1 (Cơ bản)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số ( y = (2x - 3)^5 ).

Lời giải nhanh:

Áp dụng công thức ( [(ax + b)^n]’ = n cdot a cdot (ax + b)^{n-1} )

Với ( a = 2 ), ( b = -3 ), ( n = 5 ):

( y’ = 5 cdot 2 cdot (2x - 3)^4 = 10(2x - 3)^4 )

Ví dụ 2 (Cơ bản)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số ( y = sqrt{3x + 1} ).

Lời giải nhanh:

Áp dụng công thức ( (sqrt{ax + b})’ = frac{a}{2sqrt{ax + b}} )

( y’ = frac{3}{2sqrt{3x + 1}} )

Ví dụ 3 (Trung bình)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số ( y = frac{2x + 1}{x - 3} ).

Lời giải nhanh:

Áp dụng công thức ( left( frac{ax + b}{cx + d} right)’ = frac{ad - bc}{(cx + d)^2} )

Với ( a = 2 ), ( b = 1 ), ( c = 1 ), ( d = -3 ):

( y’ = frac{2 cdot (-3) - 1 cdot 1}{(x - 3)^2} = frac{-6 - 1}{(x - 3)^2} = frac{-7}{(x - 3)^2} )

Ví dụ 4 (Trung bình)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số ( y = e^{3x^2 - 2x + 1} ).

Lời giải nhanh:

Đặt ( u = 3x^2 - 2x + 1 Rightarrow u’ = 6x - 2 )

Áp dụng công thức ( (e^u)’ = u’ cdot e^u ):

( y’ = (6x - 2) cdot e^{3x^2 - 2x + 1} )

Ví dụ 5 (Trung bình)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số ( y = ln(x^2 + 2x + 5) ).

Lời giải nhanh:

Đặt ( u = x^2 + 2x + 5 Rightarrow u’ = 2x + 2 )

Áp dụng công thức ( (ln u)’ = frac{u’}{u} ):

( y’ = frac{2x + 2}{x^2 + 2x + 5} )

Ví dụ 6 (Nâng cao)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số ( y = sin^3(2x) ).

Lời giải nhanh:

Viết lại: ( y = [sin(2x)]^3 )

Đặt ( u = sin(2x) Rightarrow u’ = 2cos(2x) )

Áp dụng công thức ( (u^n)’ = n cdot u^{n-1} cdot u’ ):

( y’ = 3[sin(2x)]^2 cdot 2cos(2x) = 6sin^2(2x) cdot cos(2x) )

Ví dụ 7 (Nâng cao)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số ( y = x^2 cdot e^{-x} ).

Lời giải nhanh:

Áp dụng công thức đạo hàm tích ( (u cdot v)’ = u’ cdot v + u cdot v’ ):

• ( u = x^2 Rightarrow u’ = 2x )
• ( v = e^{-x} Rightarrow v’ = -e^{-x} )

( y’ = 2x cdot e^{-x} + x^2 cdot (-e^{-x}) )

( y’ = e^{-x}(2x - x^2) = x(2 - x) cdot e^{-x} )

Ví dụ 8 (Nâng cao)

Đề bài: Tính đạo hàm của hàm số ( y = sqrt{1 + ln^2 x} ).

Lời giải nhanh:

Đặt ( u = 1 + ln^2 x Rightarrow u’ = 2ln x cdot frac{1}{x} = frac{2ln x}{x} )

Áp dụng công thức ( (sqrt{u})’ = frac{u’}{2sqrt{u}} ):

( y’ = frac{frac{2ln x}{x}}{2sqrt{1 + ln^2 x}} = frac{ln x}{xsqrt{1 + ln^2 x}} )

6. Bài tập tự luyện tính đạo hàm nhanh có đáp án

Hãy vận dụng các công thức đạo hàm nhanh để giải các bài tập sau:

Bài Hàm số Đáp án 1 ( y = (4x - 1)^6 ) ( y’ = 24(4x - 1)^5 ) 2 ( y = sqrt{5 - 2x} ) ( y’ = frac{-1}{sqrt{5 - 2x}} ) 3 ( y = frac{3x - 2}{x + 4} ) ( y’ = frac{14}{(x + 4)^2} ) 4 ( y = e^{2x - 1} ) ( y’ = 2e^{2x - 1} ) 5 ( y = ln(3x - 1) ) ( y’ = frac{3}{3x - 1} ) 6 ( y = sin(3x + frac{pi}{4}) ) ( y’ = 3cos(3x + frac{pi}{4}) ) 7 ( y = cos^4 x ) ( y’ = -4cos^3 x cdot sin x ) 8 ( y = 2^{x^2 + 1} ) ( y’ = 2x cdot 2^{x^2 + 1} cdot ln 2 ) 9 ( y = tan(2x) ) ( y’ = frac{2}{cos^2(2x)} ) 10 ( y = x cdot ln x - x ) ( y’ = ln x )

7. Kết luận

Qua bài viết trên, chúng ta đã tổng hợp đầy đủ kiến thức về đạo hàm nhanh từ công thức cơ bản đến nâng cao. Để tính đạo hàm nhanh và chính xác, bạn cần lưu ý:

• Học thuộc bảng đạo hàm cơ bản của các hàm sơ cấp, lượng giác, mũ và logarit
• Nắm vững công thức đạo hàm hàm hợp: đạo hàm hàm ngoài nhân với đạo hàm hàm trong
• Áp dụng các công thức đạo hàm nhanh cho dạng ( ax + b ) để tiết kiệm thời gian
• Luyện tập thường xuyên để phản xạ nhanh khi gặp các dạng toán quen thuộc
• Kiểm tra lại kết quả bằng cách thử với giá trị cụ thể hoặc dùng máy tính cầm tay

Hy vọng bài viết đã giúp bạn nắm vững các công thức và mẹo đạo hàm nhanh để tự tin hơn trong các kỳ thi. Chúc bạn học tốt!