Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng 33 và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng 44 (nhập đáp án vào ô trống)?

Vì ({u_1}) chẵn và trong dãy có số hạng lẻ nên (d) lẻ.

Vì dãy số có tổng các số hạng có giá trị chẵn là (44) và tổng các số hạng có giá trị lẻ là (33) nên dãy số có ít nhất hai số hạng chẵn và hai số hạng lẻ.

TH1: Dãy số có lẻ số hạng. Gọi dãy số tổng quát là: ({u_1};{u_2};...;{u_{2n}};{u_{2n + 1}})

(left{ begin{array}{l}{u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n + 1}} = 44{u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}} = 33end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}frac{{left( {{u_1} + {u_{2n + 1}}} right).left( {n + 1} right)}}{2} = 44frac{{left( {{u_2} + {u_{2n}}} right).n}}{2} = 33end{array} right..)

Mà ({u_1} + {u_{2n + 1}} = {u_1} + {u_{2n}} + d = {u_2} + {u_{2n}}) nên (frac{{n + 1}}{n} = frac{{44}}{3} Rightarrow n = 3.)

(begin{array}{l} Rightarrow {u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} + {u_7} = 77 Leftrightarrow 7{u_4} = 77 Leftrightarrow {u_4} = 11.end{array})

TH1: (d > 0).

Ta có: ({u_4} = {u_1} + 3d = 11 Leftrightarrow 3d = 11 - {u_1}.)

Do ({u_1} ge 2 Rightarrow 3d le 11 - 2 Leftrightarrow 3d le 9 Leftrightarrow d le 3.)

Mà (d) lẻ nên (d = left{ {1;3} right}.)

TH2: (d < 0).

Ta có: ({u_4} = {u_7} - 3d = 11 Leftrightarrow {u_7} = 3d + 11.)

Do ({u_7} > 0 Rightarrow 3d + 11 > 0 Leftrightarrow d > - frac{{11}}{3}).

( Rightarrow - frac{{11}}{3} < d < 0). Mà (d) lẻ nên (d = left{ { - 3; - 1} right}.)

TH2: Dãy số có chẵn số hạng. Gọi dãy số tổng quát là: ({u_1};{u_2};...;{u_{2n - 1}};{u_{2n}})

Do đó, để tổng số hạng có giá trị chẵn lớn hơn tổng số hạng có giá trị lẻ thì (d < 0.)

(left{ begin{array}{l}{u_1} + {u_3} + ... + {u_{2n - 1}} = 44{u_2} + {u_4} + ... + {u_{2n}} = 33end{array} right. Leftrightarrow left{ begin{array}{l}frac{{left( {{u_1} + {u_{2n - 1}}} right).n}}{2} = 44frac{{left( {{u_2} + {u_{2n}}} right).n}}{2} = 33end{array} right. Rightarrow left{ begin{array}{l}frac{{{u_1} + {u_{2n - 1}}}}{2} = frac{{44}}{n}frac{{{u_2} + {u_{2n}}}}{2} = frac{{33}}{n}end{array} right..)

Mà ({u_2} + {u_{2n}} = {u_1} + {u_{2n - 1}} + 2d) nên (frac{{33}}{n} = frac{{44}}{n} + d Leftrightarrow nd = - 11.)

Do (n) là số tự nhiên và (d) lẻ nên (left[ begin{array}{l}n = 11;d = - 1n = 1;d = - 11end{array} right..)

Với (n = 11;d = - 1) thì (frac{{{u_1} + {u_{21}}}}{2} = frac{{44}}{{11}} Leftrightarrow frac{{2{u_1} + 20d}}{2} = 4 Leftrightarrow {u_1} = 14 Rightarrow {u_{21}} = - 6).

Do các số hạng của cấp số cộng là số tự nhiên nên trường hợp này không thoả mãn.

Với (n = 1;d = - 11) cấp số cộng có hai số hạng là ({u_1} = 44;{u_2} = 33.) (Không thoả mãn)

Vậy có (4) cấp số cộng thoả mãn yêu cầu bài toán.