Công thức tính độ dài đoạn thẳng, vectơ trong Oxy và Oxyz

Công thức tính độ dài đoạn thẳng là kiến thức nền tảng trong hình học tọa độ, được áp dụng từ lớp 10 đến lớp 12. Bài viết này tổng hợp đầy đủ cách tính độ dài đoạn thẳng trong mặt phẳng Oxy và không gian Oxyz, cùng với công thức tính độ dài vectơ. Mỗi công thức đều có ví dụ minh họa chi tiết, giúp bạn dễ dàng áp dụng vào bài tập.

1. Định nghĩa độ dài đoạn thẳng

Trước khi tìm hiểu công thức, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản:

Định nghĩa: Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B, ký hiệu là ( AB ) hoặc ( |AB| ).

Tính chất cơ bản:

• Độ dài đoạn thẳng luôn là số không âm: ( AB geq 0 )
• ( AB = 0 ) khi và chỉ khi A trùng B
• ( AB = BA ) (tính đối xứng)

2. Công thức tính độ dài đoạn thẳng trong mặt phẳng Oxy

Đây là công thức tính độ dài quan trọng nhất trong chương trình Toán 10:

2.1. Công thức tổng quát

Cho hai điểm ( A(x_A; y_A) ) và ( B(x_B; y_B) ) trong mặt phẳng tọa độ Oxy.

Công thức tính độ dài đoạn thẳng AB:

[ AB = sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} ]

Giải thích công thức: Công thức này được suy ra từ định lý Pythagore. Khi dựng hình chữ nhật với đoạn AB là đường chéo, ta có:

• Cạnh nằm ngang có độ dài ( |x_B - x_A| )
• Cạnh thẳng đứng có độ dài ( |y_B - y_A| )
• Áp dụng định lý Pythagore: ( AB^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 )

2.2. Các trường hợp đặc biệt

Trường hợp Điều kiện Công thức rút gọn AB song song Ox ( y_A = y_B ) ( AB = |x_B - x_A| ) AB song song Oy ( x_A = x_B ) ( AB = |y_B - y_A| ) A là gốc tọa độ O ( A(0; 0) ) ( OB = sqrt{x_B^2 + y_B^2} )

3. Công thức tính độ dài vectơ trong mặt phẳng Oxy

Công thức tính độ dài vectơ có mối liên hệ chặt chẽ với tính độ dài đoạn thẳng:

3.1. Định nghĩa độ dài vectơ

Độ dài vectơ (hay còn gọi là môđun của vectơ) là độ dài đoạn thẳng nối điểm đầu và điểm cuối của vectơ.

Ký hiệu: ( |vec{a}| ) hoặc ( |vec{a}| )

3.2. Công thức tính

Cho vectơ ( vec{a} = (a_1; a_2) ) trong mặt phẳng Oxy.

Công thức tính độ dài vectơ:

[ |vec{a}| = sqrt{a_1^2 + a_2^2} ]

Trường hợp vectơ ( vec{AB} ): Nếu ( A(x_A; y_A) ) và ( B(x_B; y_B) ), thì:

[ vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) ] [ |vec{AB}| = sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = AB ]

Nhận xét quan trọng: Tính độ dài vectơ ( |vec{AB}| ) cho kết quả bằng độ dài đoạn thẳng AB.

4. Công thức tính độ dài đoạn thẳng trong không gian Oxyz

Trong chương trình Toán 12, cách tính độ dài được mở rộng sang không gian ba chiều:

4.1. Công thức tính độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm ( A(x_A; y_A; z_A) ) và ( B(x_B; y_B; z_B) ) trong không gian Oxyz.

Công thức:

[ AB = sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} ]

4.2. Công thức tính độ dài vectơ lớp 12

Cho vectơ ( vec{a} = (a_1; a_2; a_3) ) trong không gian Oxyz.

Công thức tính độ dài vectơ lớp 12:

[ |vec{a}| = sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} ]

4.3. Bảng tổng hợp công thức

Loại Trong mặt phẳng Oxy Trong không gian Oxyz Độ dài đoạn thẳng AB ( sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} ) ( sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2} ) Độ dài vectơ ( vec{a} ) ( sqrt{a_1^2 + a_2^2} ) ( sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2} )

5. Cách tính độ dài đoạn thẳng - Hướng dẫn chi tiết

Dưới đây là cách tính độ dài đoạn thẳng theo từng bước cụ thể:

5.1. Các bước thực hiện trong mặt phẳng Oxy

1. Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm A và B
   • Điểm ( A(x_A; y_A) )
   • Điểm ( B(x_B; y_B) )
2. Bước 2: Tính hiệu tọa độ
   • ( Delta x = x_B - x_A )
   • ( Delta y = y_B - y_A )
3. Bước 3: Áp dụng công thức
   • ( AB = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2} )
4. Bước 4: Tính toán và rút gọn kết quả

5.2. Các bước thực hiện trong không gian Oxyz

1. Bước 1: Xác định tọa độ hai điểm A và B
   • Điểm ( A(x_A; y_A; z_A) )
   • Điểm ( B(x_B; y_B; z_B) )
2. Bước 2: Tính hiệu tọa độ
   • ( Delta x = x_B - x_A )
   • ( Delta y = y_B - y_A )
   • ( Delta z = z_B - z_A )
3. Bước 3: Áp dụng công thức
   • ( AB = sqrt{(Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2} )
4. Bước 4: Tính toán và rút gọn kết quả

6. Ví dụ và bài tập minh họa

Dưới đây là các bài tập áp dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng và công thức tính độ dài vectơ:

Bài tập 1: Tính độ dài đoạn thẳng trong Oxy

Đề bài: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 2), B(4; 6), C(-2; 3). Tính:

1. Độ dài đoạn thẳng AB
2. Độ dài đoạn thẳng AC
3. Độ dài đoạn thẳng BC

Lời giải:

a) Tính độ dài đoạn thẳng AB:

• ( A(1; 2) ), ( B(4; 6) )
• Áp dụng công thức tính độ dài:

[ AB = sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = sqrt{3^2 + 4^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5 ]

b) Tính độ dài đoạn thẳng AC:

[ AC = sqrt{(-2-1)^2 + (3-2)^2} = sqrt{(-3)^2 + 1^2} = sqrt{9 + 1} = sqrt{10} ]

c) Tính độ dài đoạn thẳng BC:

[ BC = sqrt{(-2-4)^2 + (3-6)^2} = sqrt{(-6)^2 + (-3)^2} = sqrt{36 + 9} = sqrt{45} = 3sqrt{5} ]

Bài tập 2: Tính độ dài vectơ

Đề bài: Cho các vectơ ( vec{a} = (3; -4) ), ( vec{b} = (1; 1) ), ( vec{c} = (-2; 5) ). Tính độ dài vectơ của mỗi vectơ.

Lời giải:

Áp dụng công thức tính độ dài vectơ ( |vec{u}| = sqrt{u_1^2 + u_2^2} ):

• ( |vec{a}| = sqrt{3^2 + (-4)^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5 )
• ( |vec{b}| = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2} )
• ( |vec{c}| = sqrt{(-2)^2 + 5^2} = sqrt{4 + 25} = sqrt{29} )

Bài tập 3: Tính độ dài đoạn thẳng trong không gian Oxyz

Đề bài: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3), B(4; -2; 5). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Lời giải:

Áp dụng công thức trong không gian:

[ AB = sqrt{(4-1)^2 + (-2-2)^2 + (5-3)^2} ] [ AB = sqrt{3^2 + (-4)^2 + 2^2} = sqrt{9 + 16 + 4} = sqrt{29} ]

Bài tập 4: Công thức tính độ dài vectơ lớp 12

Đề bài: Cho vectơ ( vec{u} = (2; -1; 2) ) và ( vec{v} = (1; 2; -2) ) trong không gian Oxyz.

1. Tính độ dài vectơ ( vec{u} ) và ( vec{v} )
2. Tính độ dài vectơ ( vec{u} + vec{v} )

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tính độ dài vectơ lớp 12:

• ( |vec{u}| = sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = sqrt{4 + 1 + 4} = sqrt{9} = 3 )
• ( |vec{v}| = sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = sqrt{1 + 4 + 4} = sqrt{9} = 3 )

b) Tính ( vec{u} + vec{v} ):

[ vec{u} + vec{v} = (2+1; -1+2; 2+(-2)) = (3; 1; 0) ] [ |vec{u} + vec{v}| = sqrt{3^2 + 1^2 + 0^2} = sqrt{10} ]

Bài tập 5: Bài toán ứng dụng

Đề bài: Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(6; 0), C(3; 4). Chứng minh tam giác ABC cân.

Lời giải:

Tính độ dài các cạnh của tam giác:

• ( AB = sqrt{(6-0)^2 + (0-0)^2} = sqrt{36} = 6 )
• ( AC = sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5 )
• ( BC = sqrt{(3-6)^2 + (4-0)^2} = sqrt{9 + 16} = sqrt{25} = 5 )

Ta có ( AC = BC = 5 ), do đó tam giác ABC cân tại C.

Bài tập 6: Tìm điểm thỏa mãn điều kiện về độ dài

Đề bài: Tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA = MB, biết A(1; 3), B(5; 1).

Lời giải:

Gọi ( M(x; 0) ) là điểm trên trục Ox.

Áp dụng cách tính độ dài đoạn thẳng:

• ( MA = sqrt{(x-1)^2 + (0-3)^2} = sqrt{(x-1)^2 + 9} )
• ( MB = sqrt{(x-5)^2 + (0-1)^2} = sqrt{(x-5)^2 + 1} )

Từ điều kiện ( MA = MB ):

[ (x-1)^2 + 9 = (x-5)^2 + 1 ] [ x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 - 10x + 25 + 1 ] [ -2x + 10 = -10x + 26 ] [ 8x = 16 ] [ x = 2 ]

Vậy ( M(2; 0) ).

7. Một số lưu ý khi tính độ dài

Để tính độ dài đoạn thẳng chính xác, cần lưu ý:

Lưu ý Giải thích Thứ tự điểm Có thể tính ( x_B - x_A ) hoặc ( x_A - x_B ) vì bình phương sẽ cho cùng kết quả Kết quả luôn dương Độ dài đoạn thẳng và độ dài vectơ luôn ( geq 0 ) Rút gọn căn thức Nên rút gọn ( sqrt{50} = 5sqrt{2} ) để kết quả gọn hơn Đơn vị Kết quả có cùng đơn vị với tọa độ các điểm

8. Kết luận

Công thức tính độ dài đoạn thẳng và công thức tính độ dài vectơ là kiến thức quan trọng xuyên suốt chương trình Toán THPT. Để nắm vững các công thức này, học sinh cần:

• Ghi nhớ công thức trong mặt phẳng Oxy và không gian Oxyz
• Hiểu mối liên hệ giữa độ dài đoạn thẳng AB và độ dài vectơ ( vec{AB} )
• Luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập đa dạng
• Áp dụng vào các bài toán thực tế như tính chu vi, diện tích, chứng minh hình

Hy vọng bài viết này giúp bạn nắm vững cách tính độ dài và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan!