Giải bất phương trình bậc 2 một cách dễ hiểu và chi tiết nhất

Bài viết "Giải bất phương trình bậc 2" cung cấp một cách dễ hiểu và chi tiết nhất về cách giải các bất phương trình bậc 2 trong toán học. Bạn sẽ học cách áp dụng công thức và phương pháp phân tích để tìm nghiệm của bất phương trình. Bằng việc cung cấp ví dụ và lời giải chi tiết, bài viết này sẽ giúp bạn tự tin trong việc giải quyết các bất phương trình phức tạp. Cùng khám phá bài viết dưới đây nhé!

1. Khái niệm bất phương trình bậc 2

Bất phương trình bậc 2 một ẩn có dạng:

ax2 + bx + c > 0

ax2 + bx + c < 0

ax2 + bx + c ≥ 0

ax2 + bx + c ≤ 0

• a, b, c là các số thực
• a khác 0

Ví dụ:

• 2x2 + 3x + 5 > 0
• 6x2 +9 < 0
• x2 + 2x 0

2. Xét dấu của tam thức bậc 2

Cho tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c;

a,b,c là các số thực, a ≠ 0

Tính = b2 - 4ac

< 0:

• a > 0 thì f(x) > 0 với mọi x thuộc
• a < 0 thì f(x) < 0 với mọi x thuộc

= 0:

• a > 0 thì f(x) > 0 với mọi x thuộc
• a < 0 thì f(x) < 0 với mọi x thuộc

> 0 suy ra phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2)

(Trong khoảng hai nghiệm trái dấu với hệ số a, ngoài khoảng hai nghiệm cùng dấu với hệ số a)

Mẹo: Trong trái ngoài cùng

• a > 0 suy ra f(x) > 0 với x < x1 và x > x2 và f(x) < 0 với x1 < x < x2
• a < 0 suy ra f(x) > 0 với x1 < x < x2 và f(x) < 0 với x < x1 và x > x2

Ví dụ: Xét dấu của các tam thức bậc 2 sau

1. f(x) = 2x2 + 11x + 5
2. f(x) = x2 + x
3. f(x) = 2x2 + 8

ĐÁP ÁN

a. Tam thức bậc 2: f(x) = 2x2 + 11x + 5 có:

= 81 > 0 suy ra phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1 = -5 và x2 = -0,5

mà a = 2 > 0 nên f(x) > 0 khi x < -5 hoặc x > -0,5 và f(x) < 0 khi -5 < x < -0,5

b. Tam thức bậc 2: f(x) = x2 + x có:

= 1 > 0 suy ra phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x1 = -1 và x2 = 0

mà a = 1 > 0 nên f(x) > 0 khi x < -1 hoặc x > 0 và f(x) < 0 khi -1 < x < 0

c. Tam thức bậc 2: f(x) = 2x2 + 8 có:

= -64 < 0

mà a = 2 > 0 nên f(x) > 0 với mọi x thuộc

3. Cách giải bất phương trình bậc 2

1. Ta đưa bất phương trình về dạng tiêu chuẩn
2. Xét dấu tam thức bậc 2
3. Chọn khoảng đúng với bất phương trình

4. Các dạng bài tập giải bất phương trình bậc 2 lớp 10

4.1. Dạng 1: Giải bất phương trình bậc 2 đơn thuần

Bài 1: Khoảng nghiệm của bất phương trình x2 + 6x - 16 0 là:

1. (-8 ; 2)
2. [-8 ; 2]
3. (- ; -8] hoặc [2 ; +)
4. (- ; -8) hoặc (2 ; +)

ĐÁP ÁN

Xét tam thức bậc 2: f(x) = x2 + 6x - 16 có = 62 - 4.1.(-16) = 100 > 0

Phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm là x1 = -8 và x2 = 2

mà a = 1 > 0 nên f(x) 0 khi -8 x 2

Vậy nghiệm của bất phương trình là [-8 ; 2]

Chọn đáp án B

(mẹo làm trắc nghiệm: f(x) 0 và a = 1 > 0 theo mẹo trong trái ngoài cùng ta chọn trong khoảng 2 nghiệm vậy là đáp A hoặc B, mà f(x) 0 nên chọn đoạn 2 nghiệm, suy ra chọn đáp án B)

Bài 2: Khoảng nghiệm của bất phương trình -x2 - 4x + 5 < 0 là:

1. (-5 ; 1)
2. [-5 ; 1]
3. (- ; -5] hoặc [1 ; +)
4. (- ; -5) hoặc (1 ; +)

ĐÁP ÁN

Tam thức bậc 2: f(x) = -x2 - 4x + 5 có = (-4)2 -4.(-1).5 = 36 > 0

Phương trình có hai nghiệm x1 = -5 và x2 = 1

Mà a = -1 < 0 nên f(x) < 0 khi x < -5 và x > 1

Khoảng nghiệm của bất phương trình là: (- ; -5) hoặc (1 ; +)

Chọn đáp án D

(Mẹo làm trắc nghiệm: f(x) < 0 và a = -1 < 0 nên chọn ngoài khoảng nghiệm đáp án C hoặc D, mà f(x) <0 nên chọn khoảng nghiệm, suy ra chọn đáp án D)

Bài 3: Khoảng nghiệm của bất phương trình x2 + 18x + 81 > 0 là:

1. (- ; +)
2. {-9}
3. (- ; -9)
4. (-9; +)

ĐÁP ÁN

Xét tam thức bậc 2: f(x) = x2 + 18x + 81 có = 182 - 4.1.81 = 0

Mà a = 1 > 0 vậy f(x) > 0 với mọi x thuộc khoảng {-9}

Chọn đáp án B

4.2. Dạng 2: Giải bất phương trình dạng tích các đa thức bậc nhất và bậc 2

Bài 4: Giải các bất phương trình sau:

1. (2x + 5)(x2 + 4x + 5) < 0
2. (x2 + 9x + 18)(x2 + 2x + 1) > 0

ĐÁP ÁN

a. (2x + 5)(x2 + 4x + 5) < 0

xét f(x) = (2x + 5)(x2 + 4x + 5)

Xét tam thức bậc 2: g(x) = x2 + 4x + 5 có = 42 - 4.1.5 = -4 < 0

mà a = 1 > 0 vậy g(x) > 0 với mọi x thuộc

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) < 0 khi x <

Nghiệm của bất phương trình là

b. (x2 + 9x + 18)(x2 + 2x + 1) > 0

Xét f(x) = (x2 + 9x + 18)(x2 + 2x + 1) có 2 tam thức bậc 2 là:

g(x) = x2 + 9x + 18 có = 92 - 4.1.18 = 9 > 0 suy ra g(x) = 0 có 2 nghiệm là x1 = -6 ; x2 = -3

h(x) = x2 + 2x + 1 có = 22 - 4.1.1 = 0 suy ra h(x) = 0 có nghiệm kép x = -1

Ta có bảng xét dấu:

vậy hàm số f(x) > 0 khi x < -6 hoặc x > -3

Nghiệm của bất phương trình là (- ; -6) hoặc (-3; +)

4.3. Dạng 3: Giải bất phương trình dạng phân số các đa thức bậc nhất và bậc 2

Bài 5: Giải các bất phương trình sau:

a.

b.

ĐÁP ÁN

a. Xét f(x) = có hai tam thức bậc 2 là:

g(x) = x2 + 6x + 5 có = 32 - 1.5 = 4 > 0 suy ra g(x) = 0 có 2 nghiệm x1 = -5 và x2 = -1

h(x) = 2x2 + 5x + 3 có = 52 - 4.2.3 = 1 > 0 suy ra h(x) = 0 có 2 nghiệm x1 = -1,5 và x2 = -1

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x thuộc khoảng (- ; -5) hoặc (-1,5; +)

b.

Xét f(x) = có tam thức bậc 2: g(x) = x2 + 11x + 30 có 2 nghiệm là x = -5 và x = -6

Ta có bảng xét dấu:

Vậy nghiệm của bất phương trình là x thuộc khoảng (-27; -6) hoặc (-5; +)

4.4. Dạng 4: Biện luận bất phương trình bậc hai có chứa tham số

Bài 6: Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:

3x2 + (2m + 1)x - m2 - 3m - 2 = 0

ĐÁP ÁN

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

> 0

(2m + 1)2 - 4.3.(-m2 -3m -2) > 0

4m2 + 4m + 1 + 12m2 + 36m + 24 > 0

16m2 + 40m + 25 > 0

Tam thức bậc 2: f(x) = 16m2 + 40m + 25 có = 202 - 16.25 = 0

mà a = 16 > 0 vậy f(x) > 0 với mọi x thuộc R{-1,25}

vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi x

phương trình có 2 nghiệm cùng dấu khi

a.c > 0

3. (-m2 -3m -2) > 0

-3m2 - 9m -6 > 0

xét tam thức bậc 2: g(x) = -3m2 - 9m -6 có = (-9)2 -4.(-3).(-6) = 9 > 0 suy ra g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt là x1 = -2 và x2 = -1

mà a = -3 < 0 nên g(x) > 0 khi -2 < x < -1

Vậy để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi x thuộc khoảng (-2; -1) {-1,25}

Bài 7: Tìm m để phương trình sau vô nghiệm:

x2 + (3m+5)x + m2 + 2x + 10 = 0

ĐÁP ÁN

Phương trình vô nghiệm khi

< 0

(3m+5)2 - 4.1.(m2 +2m + 10) < 0

9m2 + 30m + 25 - 4m2 - 8m - 40 < 0

5m2 + 22m -15 < 0

Tam thức bậc 2: f(x) = 5m2 + 22m -15 có = 112 - 5.(-15) = 196 > 0

suy ra f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt là x1 = -5 và x2 = 0,6

mà a = 5 nên f(x) < 0 khi -5 < x < 0,6

Vậy phương trình vô nghiệm khi x thuộc khoảng (-5; 0,6)

Qua bài viết giúp các bạn hiểu rõ hơn về thế nào là bất phương trình bậc 2, cách xét dấu của tam thức bậc 2 và cách áp dụng cách xét dấu của tam thức bậc 2 vào từng dạng toán về giải bất phương trình bậc 2 ở chương trình lớp 10.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang