A. Lý thuyết
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ (vec{u}) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng (∆) nếu (vec{u}) ≠ (vec{0}) và giá của (vec{u}) song song hoặc trùng với (∆).
Nhận xét :
- Nếu (vec{u}) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng (∆) thì (kvec{u} ( k≠ 0)) cũng là một vectơ chỉ phương của (∆), do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng (∆) đi qua điểm (M_0(x_0 ;y_0)) và nhận vectơ (vec{u} = (u_1; u_2)) làm vectơ chỉ phương là:
(∆): (left{begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& y= y_{0}+tu_{2}& end{matrix}right.)
- Khi (u_1≠ 0) thì tỉ số (k= dfrac{u_{2}}{u_{1}}) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, ta có phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm (M_0(x_0 ;y_0)) và có hệ số góc k là:
(y - y_0 = k(x - x_0)).
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc (k = tan α) với góc (α) là góc của đường thẳng (∆) hợp với chiều dương của trục (Ox).
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ (vec{n}) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng (∆) nếu (vec{n}) ≠ (vec{0}) và (vec{n}) vuông góc với vectơ chỉ phương của (∆).
Nhận xét:
- Nếu (vec{n}) là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng (∆) thì k(vec{n}) ((k ≠ 0)) cũng là một vectơ pháp tuyến của (∆), do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình (ax + by + c = 0) với (a) và (b) không đồng thời bằng (0), được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu (a = 0 => y = dfrac{-c}{b}; ∆ // Ox) hoặc trùng Ox (khi c = 0).
+ Nếu (b = 0 => x = dfrac{-c}{a}; ∆ // Oy) hoặc trùng Oy (khi c = 0).
+ Nếu (c = 0 => ax + by = 0 => ∆) đi qua gốc tọa độ.
+ Nếu (∆) cắt (Ox) tại (A(a; 0)) và (Oy) tại (B (0; b)) thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng (∆): (dfrac{x}{a} + dfrac{y}{b} = 1).
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có phương trình tổng quát lần lượt là:
a1x + b1y + c1 = 0 và a2x + b2y + c2 = 0.
Điểm (M_0(x_0 ;y_0)) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi ((x_0 ;y_0)) là nghiệm của hệ hai phương trình:
(1) (left{begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& end{matrix}right.)
Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2.
b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2.
c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 ( equiv ) ∆2.
6. Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc.
Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2 thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900.
Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900.
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là (widehat{(Delta _{1},Delta _{2})}).
Cho hai đường thẳng:
∆1: a1x + b1y + c1 = 0 và ∆2: a2x + b2y + c2 = 0.
Đặt (varphi) = (widehat{(Delta _{1},Delta _{2})}).
(cos varphi) = (dfrac{|a_{1}.a_{2}+b_{1}.b_{2}|}{sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}).
Chú ý:
+ ({Delta _1} bot {Delta _2} Leftrightarrow {n_1} bot {n_2}) ( Leftrightarrow {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2} = 0).
+ Nếu ({Delta _1}) và ({Delta _2}) có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì ({Delta _1} bot {Delta _2} Leftrightarrow {k_1}.{k_2} = - 1).
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng (Oxy) cho đường thẳng (∆) có phương trình (ax+by+c=0) và điểm (M_0(x_0 ;y_0)).
Khoảng cách từ điểm (M_0) đến đường thẳng (∆) kí hiệu là (d(M_0,∆)), được tính bởi công thức:
(d(M_0,∆)=frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{sqrt{a^{2}+b^{2}}}).
B. Bài tập vận dụng
Bài 1:
a) Cho đường thẳng (Delta ) có vecto pháp tuyến (overrightarrow n = left( {frac{1}{2}; - frac{5}{2}} right)). Tìm vecto chỉ phương của (Delta ).
b) Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương (overrightarrow u = (1;3)). Tìm hai vecto pháp tuyến của d.
Giải:
a) (Delta ) có vecto pháp tuyến (overrightarrow n = left( {frac{1}{2}; - frac{5}{2}} right)), suy ra (Delta ) cũng có vecto pháp tuyến (2overrightarrow n = left( {1; - 5} right)) và có vecto chỉ phương (overrightarrow u = (5;1)).
b) Hai vecto pháp tuyến của d là (overrightarrow n = (3; - 1)), ( - overrightarrow n = ( - 3;1)).
Bài 2: Lập phương trình đường thẳng (Delta ) thỏa mãn:
a) Đi qua M(-2;-3) và có (overrightarrow n = (2;5)) là vecto pháp tuyến.
b) Đi qua M(3;-5) và có (overrightarrow u = (2; - 4)) là vecto chỉ phương.
c) Đi qua A(-3;4) và B(1;-1).
Giải:
a) Phương trình (Delta ) là (2(x + 2) + 5(y + 3) = 0 Leftrightarrow 2x + 5y + 19 = 0).
b) Phương trình (Delta ) là (frac{{x - 3}}{2} = frac{{y + 5}}{{ - 4}} Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0 Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0).
c) Phương trình (Delta ) là (frac{{x + 3}}{{1 - ( - 3)}} = frac{{y - 4}}{{ - 1 - 4}} Leftrightarrow frac{{x + 3}}{4} = frac{{y - 4}}{{ - 5}} Leftrightarrow 5x + 4y - 1 = 0).
Bài 3: Viết phương trình tổng quát của các đường thẳng là đồ thị hàm số bậc nhất sau:
a) ({d_1}:y = 2x + 3)
b) ({d_2}:y = - frac{1}{2}x + 5)
c) ({d_3}:y = x)
Giải:
a) Ta có (y = 2x + 3 Leftrightarrow 2x - y + 3 = 0).
Vậy phương trình tổng quát của ({d_1}) là (2x - y + 3 = 0).
b) Ta có (y = - frac{1}{2}x + 5 Leftrightarrow x + 2y - 10 = 0).
Vậy phương trình tổng quát của ({d_2}) là (x + 2y - 10 = 0).
c) Ta có (y = x Leftrightarrow x - y = 0).
Vậy phương trình tổng quát của ({d_3}) là (x - y = 0).
Bài 4: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
a) ({Delta _1}:2x - y + 1 = 0) và ({Delta _2}: - x + 2y + 2 = 0).
b) ({Delta _3}:x - y - 1 = 0) và ({Delta _4}:left{ begin{array}{l}x = 1 + 2ty = 3 + 2tend{array} right.).
Giải:
a) Đường thẳng ({Delta _1}) có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} = (1;2)), đường thẳng ({Delta _2}) có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_2}} = ( - 2; - 1)).
Do (frac{1}{{ - 2}} ne frac{2}{{ - 1}}) nên (overrightarrow {{u_1}} ) và (overrightarrow {{u_2}} ) không cùng phương, suy ra ({Delta _1}) cắt ({Delta _2}).
b) Đường thẳng ({Delta _3}), ({Delta _4}) lần lượt có vecto chỉ phương là (overrightarrow {{u_3}} = (1;1)) và (overrightarrow {{u_4}} = (2;2)). Suy ra (overrightarrow {{u_4}} = 2overrightarrow {{u_3}} ). Chọn t = 0, ta có điểm (M(1;3) in {Delta _4}). Do (1 - 3 - 1 ne 0) nên (M(1;3) notin {Delta _3}).
Vậy ({Delta _3}) // ({Delta _4}).
Bài 5: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
({Delta _1}:x - 2y + 1 = 0) và ({Delta _2}:2x - 4y + 2 = 0).
Giải:
Tọa độ giao điểm của đường thẳng ({Delta _1}) và ({Delta _2}) là nghiệm của hệ phương trình:
(left{ begin{array}{l}x - 2y + 1 = 02x - 4y + 2 = 0end{array} right.).
Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, ({Delta _1}) và ({Delta _2}) có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.
Bài 6: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ({Delta _1}) và ({Delta _2}) trong mỗi trường hợp sau:
a) ({Delta _1}:left{ begin{array}{l}x = - 1 + sqrt 3 {t_1}y = 1 + {t_1}end{array} right.) và ({Delta _2}:left{ begin{array}{l}x = - 1 + sqrt 3 {t_2}y = 4 - {t_2}end{array} right.).
b) ({Delta _1}:3x + y - 10 = 0) và ({Delta _2}: - 2x + y - 7 = 0).
Giải:
a) ({Delta _1}) có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_1}} = left( {sqrt 3 ;1} right)). ({Delta _2}) có vecto chỉ phương (overrightarrow {{u_2}} = left( {sqrt 3 ; - 1} right)).
Do đó, ta có: (cos ({Delta _1},{Delta _2}) = frac{{left| {sqrt 3 .sqrt 3 + 1.( - 1)} right|}}{{sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} + {1^2}} .sqrt {{{left( {sqrt 3 } right)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = frac{1}{2}).
Vậy (({Delta _1},{Delta _2}) = {60^o}).
b) ({Delta _1}) có vecto pháp tuyến (overrightarrow {{n_1}} = left( {3;1} right)). ({Delta _2}) có vecto pháp tuyến (overrightarrow {{n_2}} = left( { - 2;1} right)).
Do đó, ta có: (cos ({Delta _1},{Delta _2}) = left| {cos (overrightarrow {{n_1}} ,overrightarrow {{n_2}} )} right| = frac{{left| {overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}} } right|}}{{left| {overrightarrow {{n_1}} } right|.left| {overrightarrow {{n_2}} } right|}} = frac{{left| {3.( - 2) + 1.1} right|}}{{sqrt {{3^2} + {1^2}} .sqrt {{{( - 2)}^2} + {1^2}} }} = frac{{sqrt 2 }}{2}).
Vậy (({Delta _1},{Delta _2}) = {45^o}).
Bài 7: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Delta ) trong mỗi trường hợp sau:
a) M(-2;1) và (Delta :2x - 3y + 5 = 0).
b) M(1;-3) và (Delta :left{ begin{array}{l}x = - 2 + 3ty = 2 - 4tend{array} right.).
Giải:
a) Ta có: (d(M,Delta ) = frac{{left| {2.( - 2) - 3.1 + 5} right|}}{{sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} }} = frac{2}{{sqrt {13} }} = frac{{2sqrt {13} }}{{13}}).
b) Đường thẳng (Delta ) đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến (overrightarrow n = (4;3)).
Phương trình đường thẳng (Delta ) là (4(x + 2) + 3(y - 2) = 0). Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng (Delta ) là (4x + 3y + 2 = 0).
Vậy (d(M,Delta ) = frac{{left| {4.1 + 3.( - 3) + 2} right|}}{{sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = frac{3}{5}).
Loigiaihay.com
Hoặc