Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhị thức Newton khi biết số mũ $n$, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Phương pháp: + Áp dụng khai triển ${(a + b)^n} = sumlimits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n - k}}{b^k}.$ + Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n - k}}{b^k}.$ + Dùng các công thức lũy thừa chuyển số hạng tổng quát dưới dạng $A.{x^{f(k)}}$ (với $x$ là ẩn). + Đối chiếu với giả thiết giải phương trình $f(k) = h$, tìm $k$ tương ứng. + Suy ra hệ số cần tìm. Lưu ý: Một số tính chất của lũy thừa: ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$ $frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m - n}}.$ ${left( {{a^m}} right)^n} = {a^{m.n}}.$ ${(ab)^m} = {a^m}.{b^m}.$ ${left( {frac{a}{b}} right)^m} = frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.$ $frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ - n}}.$ $sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{frac{n}{m}}}.$ $sqrt[m]{{sqrt[n]{a}}} = sqrt[{mn}]{a}.$
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm hệ số của ${x^{31}}$ trong khai triển ${left( {x + frac{1}{{{x^2}}}} right)^{40}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {x + frac{1}{{{x^2}}}} right)^{40}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^k}{left( {frac{1}{{{x^2}}}} right)^{40 - k}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{3k - 80}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{40}^k{x^{3k - 80}}.$ Để có hệ số của ${x^{31}}$ thì $3k - 80 = 31$ $ Leftrightarrow k = 37.$ Vậy hệ số của ${x^{31}}$ là: $C_{40}^{37} = 9880.$
Bài 2: Tìm hệ số không chứa $x$ của khai triển nhị thức Newton của ${left( {sqrt[3]{x} + frac{1}{{sqrt[4]{x}}}} right)^7}$ với $x > 0.$
Lời giải: Ta có: ${left( {sqrt[3]{x} + frac{1}{{sqrt[4]{x}}}} right)^7}$ $ = sumlimits_{k = 0}^7 {C_7^k} {(sqrt[3]{x})^{7 - k}}{left( {frac{1}{{sqrt[4]{x}}}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{frac{{7 - k}}{3}}}.frac{1}{{{x^{frac{k}{4}}}}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{frac{{28 - 7k}}{{12}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_7^k{x^{frac{{28 - 7k}}{{12}}}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $frac{{28 - 7k}}{{12}} = 0$ $ Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_7^4 = 35.$
Bài 3: Tìm hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển ${left( {{x^3} - xy} right)^{15}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {{x^3} - xy} right)^{15}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {left( {{x^3}} right)^{15 - k}}.{( - xy)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} .{( - 1)^k}.{x^{45 - 2k}}.{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{15}^k.{( - 1)^k}.{x^{45 - 2k}}.{y^k}.$ Hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ là: $C_{15}^k.{( - 1)^k}$ với $k$ thỏa mãn: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {45 - 2k = 29} {k = 8} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển là: $C_{15}^8.{( - 1)^8} = 6435.$
Bài 4: Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển: ${left( {2x + frac{1}{{sqrt[5]{x}}}} right)^{18}}$ $(x > 0).$
Lời giải: Ta có: ${left( {2x + frac{1}{{sqrt[5]{x}}}} right)^{18}}$ $ = {left( {2x + {x^{ - frac{1}{5}}}} right)^{18}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {(2x)^{18 - k}}{left( {{x^{ - frac{1}{5}}}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {.2^{18 - k}}.{x^{frac{{90 - 6k}}{5}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{18}^k{.2^{18 - k}}.{x^{frac{{90 - 6k}}{5}}}.$ Hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{18}^k{.2^{18 - k}}$ với $k$ thỏa mãn: $frac{{90 - 6k}}{5} = 0$ $ Leftrightarrow k = 15.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{18}^{15}{.2^3} = 6528.$
Bài 5: Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển: ${left( {frac{1}{{sqrt[3]{{{x^2}}}}} + sqrt[4]{{{x^3}}}} right)^{17}}$ với $x ne 0.$
Lời giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{17}^k{left( {{x^{ - frac{2}{3}}}} right)^{17 - k}}{left( {{x^{frac{3}{4}}}} right)^k}$ $ = C_{17}^k{x^{frac{{17}}{{16}}k - frac{{17}}{2}}}$ với $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {k in N} {k le 17} end{array}} right..$ Để có số hạng không chứa $x$ thì: $frac{{17}}{{16}}k - frac{{17}}{2} = 0$ $ Leftrightarrow k = 8.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{17}^8 = 24310.$
Bài 6: Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển ${left( {frac{1}{{{x^3}}} + sqrt {{x^5}} } right)^{12}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {frac{1}{{{x^3}}} + sqrt {{x^5}} } right)^{12}}$ $ = {left( {{x^{ - 3}} + {x^{frac{5}{2}}}} right)^{12}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {left( {{x^{ - 3}}} right)^{12 - k}}{left( {{x^{frac{5}{2}}}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{frac{{ - 72 + 11k}}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{12}^k{x^{frac{{ - 72 + 11k}}{2}}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $frac{{ - 72 + 11k}}{2} = 8$ $ Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là: $C_{12}^8 = 495.$
Bài 7: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển: ${left( {2{x^3} + frac{1}{{{x^2}}}} right)^{10}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {2{x^3} + frac{1}{{{x^2}}}} right)^{10}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {left( {2{x^3}} right)^{10 - k}}{left( {frac{1}{{{x^2}}}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 - k}}{x^{30 - 5k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{10}^k{2^{10 - k}}{x^{30 - 5k}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 - k}}$ với $k$ thỏa mãn $30 - 5k = 0$ $ Leftrightarrow k = 6.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^6{2^4} = 3360.$
Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển ${left( {x + frac{1}{x}} right)^{15}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {x + frac{1}{x}} right)^{15}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 - k}}{left( {frac{1}{x}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 - 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{15}^k{x^{15 - 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $15 - 2k = 7$ $ Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển là: $C_{15}^4 = 1365.$
Bài 9: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển: ${left( {2x - frac{1}{x}} right)^{10}}.$
Lời giải: Ta có: $ = {left( {2x - frac{1}{x}} right)^{10}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {(2x)^{10 - k}}{left( { - frac{1}{x}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {(2)^{10 - k}}{( - 1)^k}{x^{10 - 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{10}^k{(2)^{10 - k}}{( - 1)^k}{x^{10 - 2k}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $10 - 2k = 0$ $ Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{10}^5{(2)^5}{( - 1)^5} = - 8064.$
Bài 10: Tìm hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển: ${left( {{x^2} - 2x} right)^{10}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {{x^2} - 2x} right)^{10}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {left( {{x^2}} right)^{10 - k}}{( - 2x)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {( - 2)^k}{x^{20 - k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{10}^k{( - 2)^k}{x^{20 - k}}.$ Hệ số của ${x^{16}}$ là $C_{10}^k{( - 2)^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 - k = 16$ $ Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển: $C_{10}^4{( - 2)^4} = 3360.$
Bài 11: Tìm hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển: ${left( {{x^3} + xy} right)^{15}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {{x^3} + xy} right)^{15}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {left( {{x^3}} right)^{15 - k}}{(xy)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{45 - 2k}}{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{15}^k{x^{45 - 2k}}{y^k}.$ Hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {45 - 2k = 25} {k = 10} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow k = 10.$ Vậy hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển là: $C_{15}^{10} = 3003.$
Bài 12: Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển của nhị thức Newton: ${left( {x - frac{2}{{{x^2}}}} right)^{20}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {x - frac{2}{{{x^2}}}} right)^{20}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {x^{20 - k}}{left( { - frac{2}{x}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {( - 2)^k}{x^{20 - 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{20}^k{( - 2)^k}{x^{20 - 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là: $C_{20}^k{( - 2)^k}$ với $k$ thỏa mãn: $20 - 2k = 8$ $ Leftrightarrow k = 6.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là: $C_{20}^6{( - 2)^6} = 2480640.$
Bài 13: Tìm hệ số của ${x^8}$ trong khai triển thành đa thức của ${left[ {1 + {x^2}(1 - x)} right]^8}.$
Lời giải: Ta có: ${left[ {1 + {x^2}(1 - x)} right]^8}$ $ = C_8^0 + C_8^1{x^2}(1 - x)$ $ + C_8^2{x^4}{(1 - x)^2} + C_8^3{x^6}{(1 - x)^3}$ $ + C_8^4{x^8}{(1 - x)^4} + C_8^5{x^{10}}{(1 - x)^5}$ $ + C_8^6{x^{12}}{(1 - x)^6} + C_8^7{x^{14}}{(1 - x)^7}$ $ + C_8^8{x^{16}}{(1 - x)^8}.$ Nhận xét: Bậc của $x$ trong $3$ số hạng đầu luôn nhỏ hơn $8.$ Bậc của $x$ trong $4$ số hạng cuối luôn lớn hơn $8.$ Do đó ${x^8}$ chỉ có trong số hạng thứ tư và thứ năm. Xét trong khai triển $C_8^3{x^6}{(1 - x)^3}$ thì hệ số của ${x^8}$ là: $C_8^3.C_3^2.$ Xét trong khai triển $C_8^4{x^8}{(1 - x)^4}$ thì hệ số của ${x^8}$ là: $C_8^4.C_4^0.$ Vậy hệ số của ${x^8}$ trong khai triển ${left[ {1 + {x^2}(1 - x)} right]^8}$ là: $C_8^3.C_3^2 + C_8^4.C_4^0 = 238.$
Bài 14: Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển ${(x + 1)^4} + {(x + 1)^5} + {(x + 1)^6} + {(x + 1)^7}.$
Lời giải: Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là tổng hệ số của ${x^5}$ trong từng khai triển ${(x + 1)^i}$, $i = overline {4…7} .$ Nhận xét rằng trong khai triển ${(x + 1)^4}$ không chứa ${x^5}.$ Ta có: ${(x + 1)^5} + {(x + 1)^6} + {(x + 1)^7}$ $ = sumlimits_{{k_1} = 0}^5 {C_5^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + sumlimits_{{k_2} = 0}^6 {C_6^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + sumlimits_{{k_3} = 0}^7 {C_7^{{k_3}}} {x^{{k_3}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = 5$ ta được hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là: $C_5^5 + C_6^5 + C_7^5 = 28.$
Bài 15: Cho đa thức $P(x) = {(1 + x)^9} + {(1 + x)^{10}}$ $ + {(1 + x)^{11}} + ldots + {(1 + x)^{14}}$ có dạng khai triển là: $P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ldots + {a_{14}}{x^{14}}.$ Hãy tính hệ số ${a_9}.$
Lời giải: Để tính hệ số ${a_9}$ là hệ số của ${x^9}$ ta tính hệ số ${a_9}$ trong từng nhị thức của $P(x)$ rồi tính tổng của chúng. Xét khai triển ${(1 + x)^9} = sumlimits_{k = 0}^9 {C_9^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_9^9.$ Xét khai triển ${(1 + x)^{10}} = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_{10}^9.$ Thực hiện tương tự cho các nhị thức còn lại trong $P(x)$ ta được: ${a_9} = C_9^9 + C_{10}^9 + C_{11}^9 + C_{12}^9 + C_{13}^9 + C_{14}^9 = 3003.$
Bài 16: Cho $A = {left( {x - frac{1}{{{x^2}}}} right)^{20}} + {left( {{x^3} - frac{1}{x}} right)^{10}}.$ Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm bao nhiêu số hạng?
Lời giải: Ta có: $A = {left( {x - frac{1}{{{x^2}}}} right)^{20}} + {left( {{x^3} - frac{1}{x}} right)^{10}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{20} {{{( - 1)}^k}} C_{20}^k{x^{20 - k}}{left( {{x^{ - 2}}} right)^k}$ $ + sumlimits_{h = 0}^{10} {{{( - 1)}^h}} C_{10}^h{left( {{x^3}} right)^{10 - h}}{left( {{x^{ - 1}}} right)^h}.$ $ = sumlimits_{k = 0}^{20} {{{( - 1)}^k}} C_{20}^k{x^{20 - 3k}}$ $ + sumlimits_{h = 0}^{10} {{{( - 1)}^h}} C_{10}^h{x^{30 - 4h}}.$ Trong khai triển ${left( {x - frac{1}{{{x^2}}}} right)^{20}}$ có $21$ số hạng và khai triển ${left( {{x^3} - frac{1}{x}} right)^{10}}$ có $11$ số hạng. Xét trường hợp $20 - 3k = 30 - 4h$ $ Leftrightarrow 4h - 10 = 3k.$ Vì $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {k in N} {h in N} end{array}} right.$ suy ra: $4h - 10$ phải chia hết cho $3.$ Mặt khác $0 le h le 10$, suy ra: $h = 4$, $h = 7$, $h = 10.$ Suy ra trong hai khai triển của ${left( {x - frac{1}{{{x^2}}}} right)^{20}}$ và ${left( {{x^3} - frac{1}{x}} right)^{10}}$ có $3$ số hạng có lũy thừa của $x$ giống nhau. Vì vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm có: $21 + 11 - 3 = 29$ số hạng.
Bài 17: Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển thành đa thức của: $x{(1 - 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}.$
Lời giải: Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{(1 - 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}$ bằng tổng hệ số chứa ${x^5}$ trong khai triển $x{(1 - 2x)^5}$ và ${x^2}{(1 + 3x)^{10}}.$ Xét khai triển: $x{(1 - 2x)^5}$ $ = x.sumlimits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( - 2x)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^5 {C_5^k} {( - 2)^k}{x^{k + 1}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_5^k{( - 2)^k}{x^{k + 1}}.$ Chọn $k = 4$ ta được hệ số của ${x^5}$ là: $C_5^4{( - 2)^4} = 80.$ Xét khai triển ${x^2}{(1 + 3x)^{10}}$ $ = {x^2}sumlimits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {(3x)^h}$ $ = sumlimits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3^h}{x^{h + 2}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{10}^h{3^h}{x^{h + 2}}.$ Chọn $h=3$, ta được hệ số của ${x^5}$ là: $C_{10}^3{3^3} = 3240.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{(1 - 2x)^5} + {x^2}{(1 + 3x)^{10}}$ là: $80 + 3240 = 3320.$
Bài 18: Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức: ${left( {frac{x}{{sqrt[5]{x}}} + {x^{frac{{ - 28}}{{25}}}}} right)^{12}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {frac{x}{{sqrt[5]{x}}} + {x^{frac{{ - 28}}{{25}}}}} right)^{12}}$ $ = {left( {{x^{frac{4}{5}}} + {x^{frac{{ - 28}}{{25}}}}} right)^{12}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {left( {{x^{frac{4}{5}}}} right)^{12 - k}}{left( {{x^{frac{{ - 28}}{{25}}}}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{frac{{240 - 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{12}^k{x^{frac{{240 - 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn: $frac{{240 - 48k}}{{25}} = 0$ $ Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là: $C_{12}^k = 729.$
Bài 19: Gọi ${a_0}$, ${a_1}$, ${a_2}$, …, ${a_{11}}$ là hệ số trong khai triển: ${(x + 1)^{10}}(x + 2)$ $ = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + {a_2}{x^9} + ldots . + {a_{10}}x + {a_{11}}.$ Tìm hệ số của ${a_5}.$
Lời giải: Ta có: ${(x + 1)^{10}}(x + 2)$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 - k}}(x + 2)$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 - k}} + sumlimits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 - k}}.$ Ta có hệ số ${a_5}$ chính là hệ số của ${x^6}$ trong khai triển. Xét tổng: $sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 - k}}$ có số hạng tổng quát là: $C_{10}^k{x^{11 - k}}.$ Chọn $k = 5$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là: $C_{10}^5.$ Xét tổng: $sumlimits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 - k}}$ có số hạng tổng quát là: $2C_{10}^k{x^{10 - k}}.$ Chọn $k = 4$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là: $2C_{10}^4.$ Vậy ${a_5} = C_{10}^5 + 2C_{10}^4 = 672.$
Bài 20: Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển ${left( {x + frac{1}{x}} right)^{10}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {x + frac{1}{x}} right)^{10}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 - k}}{left( {frac{1}{x}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 - 2k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là: ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^{10 - 2k}}.$ Chọn $k = 3$, ta được hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển đó là: $C_{10}^3 = 120.$
Bài 21: Tìm hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển ${left( {x + frac{1}{{{x^2}}}} right)^{40}}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {x + frac{1}{{{x^2}}}} right)^{40}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 - k}}{left( {frac{1}{{{x^2}}}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 - 3k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là: ${T_{k + 1}} = C_{40}^k{x^{40 - 3k}}.$ Chọn $k = 30$, ta được hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển là: $C_{40}^{30} = 847660528.$
Bài 22: Tìm hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển ${left( {sqrt[3]{{{x^{ - 2}}}} + x} right)^7}.$
Lời giải: Ta có: ${left( {sqrt[3]{{{x^{ - 2}}}} + x} right)^7}$ $ = {left( {{x^{ - frac{2}{3}}} + x} right)^7}$ $ = sumlimits_{k = 0}^7 {C_7^k} {left( {{x^{ - frac{2}{3}}}} right)^{7 - k}}{x^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{frac{{ - 14 + 5k}}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_7^k{x^{frac{{ - 14 + 5k}}{3}}}.$ Hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^k{x^{frac{{ - 14 + 5k}}{3}}}$ với $k$ thỏa mãn: $frac{{ - 14 + 5k}}{3} = 2$ $ Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^4{x^2} = 35{x^2}.$
Bài 23: Cho đa thức $P(x) = (1 + x) + 2{(1 + x)^2}$ $ + 3{(1 + x)^3} + ldots + 20{(1 + x)^{20}}$ được viết dưới dạng: $P(x) = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ldots + {a_{20}}{x^{20}}.$ Tìm hệ số ${a_{15}}$?.
Lời giải: Hệ số ${a_{15}}$ là hệ số của ${x^{15}}$ trong khai triển $P(x).$ Ta nhận thấy ${x^{15}}$ chỉ xuất hiện trong số hạng khai triển thứ $15$ trở đi, tức là trong tổng $15{(1 + x)^{15}}$ $ + 16{(1 + x)^{16}}$ $ + 17{(1 + x)^{17}}$ $ + ldots + 20{(1 + x)^{20}}.$ Mà $15{(1 + x)^{15}}$ $ + 16{(1 + x)^{16}}$ $ + ldots + 20{(1 + x)^{20}}$ $ = 15sumlimits_{{k_1} = 0}^{15} {C_{15}^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + 16sumlimits_{{k_2} = 0}^{16} {C_{16}^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + ldots + 20sumlimits_{{k_6} = 0}^{20} {C_{20}^{{k_6}}} {x^{{k_6}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = ldots = {k_6}$ ta được hệ số của $x^{15}$ trong khai triển $P(x)$ là: $15C_{15}^{15} + 16C_{16}^{15}$ $ + 17C_{17}^{15} + ldots + 20C_{20}^{15}$ $ = 400995.$
Bài 24: Khai triển $P(x) = {(3 + x)^{50}}$ $ = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + ldots + {a_{50}}{x^{50}}.$ a/ Tính hệ số ${a_{46}}.$ b/ Tính tổng $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ldots + {a_{50}}.$
Lời giải: a) Ta có: ${(3 + x)^{50}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 - k}}{x^k}$ $(*).$ Ta có: ${a_k} = C_{50}^k{3^{50 - k}}$, $forall k = overline {0..50} .$ Suy ra: ${a_{46}} = C_{50}^{46}{3^4} = 18654300.$ b) Nhận thấy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ldots + {a_{50}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 - k}}.$ Từ $(*)$ chọn $x= 1$, ta được: ${(3 + 1)^{50}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 - k}}$ $ Leftrightarrow sumlimits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 - k}} = {4^{50}}.$ Vậy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + ldots + {a_{50}} = {4^{50}}.$
Bài 25: a/ Tìm số hạng của khai triển ${left( {sqrt 3 + sqrt[3]{2}} right)^9}$ là một số nguyên. b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển ${left( {sqrt 3 - sqrt {15} } right)^6}.$ c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển ${left( {sqrt[5]{3} + sqrt[3]{7}} right)^{36}}.$ d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển ${left( {sqrt 3 + sqrt[4]{5}} right)^{124}}.$
Lời giải: a) Ta có: ${left( {sqrt 3 + sqrt[3]{2}} right)^9}$ $ = {left( {{3^{frac{1}{2}}} + {2^{frac{1}{3}}}} right)^9}$ $ = sumlimits_{k = 0}^9 {C_9^k} {left( {{3^{frac{1}{2}}}} right)^{9 - k}}{left( {{2^{frac{1}{3}}}} right)^k}$ $ = sumlimits_{k = 0}^9 {C_9^k} {(3)^{frac{{9 - k}}{2}}}{(2)^{frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_9^k{(3)^{frac{{9 - k}}{2}}}{(2)^{frac{k}{3}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển là số hạng có $k$ thỏa mãn: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {9 - k vdots 2} {k vdots 3} {k = overline {0..9} } end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left[ {begin{array}{*{20}{l}} {k = 3} {k = 9} end{array}} right..$ Vậy các số hạng nguyên trong khai triển là: ${T_4} = C_9^3{.3^3}.2 = 4536$, ${T_{10}} = C_9^9{2^3} = 8.$ b) Ta có: ${left( {sqrt 3 - sqrt {15} } right)^6}$ $ = {3^3}{left( {1 - sqrt 5 } right)^6}$ $ = sumlimits_{k = 0}^6 2 7C_6^k{( - 1)^k}{.5^{frac{k}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $27C_6^k{( - 1)^k}{.5^{frac{k}{2}}}.$ Để có số hạng hữu tỷ thì ${5^{frac{k}{2}}}$ là số hữu tỷ, suy ra: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {k vdots 2} {k = overline {0..6} } end{array}} right.$ $ Leftrightarrow k in { 0;2;4;6} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ là: ${T_1} = 27C_6^0 = 27$, ${T_3} = 27C_6^2.{( - 1)^2}.5 = 810$, ${T_5} = 27C_6^4{( - 1)^4}{.5^2} = 10125$, ${T_7} = 27C_6^6{( - 1)^6}{.5^3} = 3375.$ c) Ta có: ${left( {sqrt[5]{3} + sqrt[3]{7}} right)^{36}}$ $ = {left( {{3^{frac{1}{5}}} + {7^{frac{1}{3}}}} right)^{36}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{36} {C_{36}^k} {3^{frac{{36 - k}}{5}}}{.7^{frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{36}^k{3^{frac{{36 - k}}{5}}}{.7^{frac{k}{3}}}.$ Số hạng hữu tỷ trong khai triển là số hạng chứa $k$ thỏa mãn điều kiện: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {36 - k vdots 5} {k vdots 3} {k = overline {0..36} } end{array}} right.$ $ Leftrightarrow k in { 6;21;36} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ trong khai triển là: ${T_7} = C_{36}^6{3^6}{7^2}$, ${T_{22}} = C_{36}^{21}{3^3}{7^7}$, ${T_{37}} = C_{36}^{36}{7^{12}}.$ d) Ta có: ${left( {sqrt 3 + sqrt[4]{5}} right)^{124}}$ $ = {left( {{3^{frac{1}{2}}} + {5^{frac{1}{4}}}} right)^{124}}$ $ = sumlimits_{k = 0}^{124} {C_{124}^k} {.3^{frac{{124 - k}}{2}}}{.5^{frac{k}{4}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là: $C_{124}^k{.3^{frac{{124 - k}}{2}}}{.5^{frac{k}{4}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển thỏa mãn điều kiện: $left{ {begin{array}{*{20}{l}} {124 - k vdots 2} {k vdots 4} {k = overline {0..124} } end{array}} right.$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {k = 4h} {k = overline {0..124} } {h in N} end{array}} right.$ $ Leftrightarrow 0 le 4h le 124$ $ Leftrightarrow 0 le h le 31.$ Vậy có $32$ số hạng nguyên trong khai triển.
Hoặc