Lý thuyết Hàm số lượng giác - SGK Toán 11 Kết nối tri thức

1. Định nghĩa hàm số lượng giác

• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sinx được gọi là hàm số sin, kí hiệu y = sinx. Tập xác định của hàm số sin là (mathbb{R}).
• Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cosx được gọi là hàm số cos, kí hiệu y = cosx. Tập xác định của hàm số côsin là (mathbb{R}).
• Hàm số cho bằng công thức (y = frac{{sin alpha }}{{cos alpha }})được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tanx. Tập xác định của hàm số tang là (mathbb{R}backslash left{ {frac{pi }{2} + kpi |k in mathbb{Z}} right}).
• Hàm số cho bằng công thức (y = frac{{cos alpha }}{{sin alpha }})được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cotx. Tập xác định của hàm số côtang là (mathbb{R}backslash left{ {kpi |k in mathbb{Z}} right}).

2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D.

• Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = f(x)). Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục đối xứng.
• Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu (forall x in D) thì ( - x in D) và (f( - x) = - f(x)). Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

b) Hàm số tuần hoàn

Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số (T ne 0) sao cho với mọi (x in D) ta có:

• (x + T in D) và (x - T in D).
• (f(x + T) = f(x)).

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn cách điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

* Nhận xét:

Các hàm số y = sinx, y = cosx tuần hoàn chu kì (2pi ).

Các hàm số y = tanx, y = cotx tuần hoàn chu kì (pi ).

3. Đồ thị và tính chất của hàm số y = sinx

• Tập xác định là (mathbb{R}).
• Tập giá trị là [-1;1].
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì 2(pi ).
• Đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - frac{pi }{2} + k2pi ;frac{pi }{2} + k2pi } right)) và nghịch biến trên mỗi khoảng (left( {frac{pi }{2} + k2pi ;frac{{3pi }}{2} + k2pi } right)).
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

4. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cosx

• Tập xác định là (mathbb{R}).
• Tập giá trị là [-1;1].
• Là hàm số chẵn và tuần hoàn chu kì 2(pi ).
• Đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - pi + k2pi ;k2pi } right)) và nghịch biến trên mỗi khoảng (left( {k2pi ;pi + k2pi } right)).
• Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

5. Đồ thị và tính chất của hàm số y = tanx

• Tập xác định là (mathbb{R}backslash left{ {frac{pi }{2} + kpi |k in mathbb{Z}} right}).
• Tập giá trị là (mathbb{R}).
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì (pi ).
• Đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - frac{pi }{2} + kpi ;frac{pi }{2} + kpi } right)), (k in mathbb{Z}).
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

6. Đồ thị và tính chất của hàm số y = cotx

• Tập xác định là (mathbb{R}backslash left{ {kpi |k in mathbb{Z}} right}).
• Tập giá trị là (mathbb{R}).
• Là hàm số lẻ và tuần hoàn chu kì (pi ).
• Đồng biến trên mỗi khoảng (left( {kpi ;pi + kpi } right)), (k in mathbb{Z}).
• Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.