Cho tứ diện đều (ABCD), cạnh bằng (a). Kéo dài (BC) một đoạn (CE = a). Kéo dài (BD) một đoạn (DF = a). Gọi (M) là trung điểm của (AB.) (a) Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (left( {MEF} right)). (b) Tính diện tích của thiết diện.

a) +) Trong mặt phẳng (left( {ABC} right)) có (ME cap AC = I)

Mà (AC subset left( {ABC} right),ME subset left( {MEF} right)) nên (I in left( {ABC} right) cap left( {MEF} right))

Lại có (M in left( {ABC} right) cap left( {MEF} right))

Nên (MI = left( {ABC} right) cap left( {MEF} right)).

+) Trong mặt phẳng (left( {ABD} right)) có (MF cap AD = J)

Mà (AD subset left( {ABD} right),MF subset left( {MEF} right)) nên (J in left( {ABD} right) cap left( {MEF} right))

Lại có (M in left( {ABD} right) cap left( {MEF} right))

Nên (MJ = left( {ABD} right) cap left( {MEF} right)).

Tương tự, ta có (IJ = left( {ACD} right) cap left( {MEF} right)).

Do đó thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (left( {MEF} right)) là (Delta MIJ).

b) Vì (I,J) lần lượt là trọng tâm (Delta ABE,Delta ABF) nên (left{ begin{array}{l}AI = frac{2}{3}AC = frac{2}{3}aAJ = frac{2}{3}AD = frac{2}{3}aend{array} right.).

Vì (ABCD) là tứ diện đều nên (Delta ACD) đều, suy ra (widehat {CAD} = widehat {IAJ} = 60^circ ).

Vì (widehat {IAJ} = 60^circ ) và (AI = AJ) nên (Delta AIJ) đều, suy ra (IJ = frac{2}{3}a).

Do (M)là trung điểm của (AB) nên (AM = frac{{AB}}{2} = frac{a}{2}).

Xét (Delta AMJ) có (widehat {MAJ} = 60^circ ), ta có:

(MJ = sqrt {A{M^2} + A{J^2} - 2AM cdot AJ cdot cos widehat {MAJ}} )

(MJ = sqrt {{{left( {frac{a}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{2a}}{3}} right)}^2} - 2 cdot frac{a}{2} cdot frac{{2a}}{3} cdot cos 60^circ } )( = frac{{asqrt {13} }}{6})

Xét (Delta AMI) có (widehat {MAI} = 60^circ ), ta có:

(MI = sqrt {A{M^2} + A{I^2} - 2AM cdot AI cdot cos widehat {MAI}} )

(MI = sqrt {{{left( {frac{a}{2}} right)}^2} + {{left( {frac{{2a}}{3}} right)}^2} - 2 cdot frac{a}{2} cdot frac{{2a}}{3} cdot cos 60^circ } )( = frac{{asqrt {13} }}{6}).

Do (MI = MJ = frac{{asqrt {13} }}{6}) nên (Delta MIJ) cân tại (M).

Gọi (K) là trung điểm của (IJ). Suy ra (IK = KJ = frac{{IJ}}{2} = frac{a}{3}).

Vì (Delta MIJ) cân có (MK) là trung tuyến nên (MK) đồng thời là đường cao.

Xét (Delta MKI) có (MK = sqrt {M{I^2} - I{K^2}} = sqrt {{{frac{{13a}}{{36}}}^2} - frac{{{a^2}}}{9}} = frac{a}{2}).

Khi đó ({S_{MIJ}} = frac{1}{2}MK cdot IJ = frac{1}{2} cdot frac{a}{2} cdot frac{{2a}}{3} = frac{{{a^2}}}{6}.)